[理學(xué)]復(fù)變函數(shù)第一講(編輯修改稿)
2025-02-15 07:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 且記為 n zw ?當(dāng) k＝ 0， 1， 2， … ， n－ 1時，得到 n個相異的根： )s in( c o s10 ninrwn ?? ??)2s i n2( c o s11 ninrwn ???? ????))1(2s i n)1(2( c os11 nninnrw nn???? ???????)4s i n4( c os12 ninrwn ???? ????例： 3 8?)s in( c o s28 3 ?? i???)3 2s i n3 2( c os283 ???? kik ?????2,1,0?k即 2103123183?????????????kkkii復(fù)數(shù)的球面表示與擴充復(fù)平面 z P N 球極平面射影法 取一個在原點 O與 z平面相切的球面，過 O點作 z平面的垂線與球面交于 N點（稱為北極或者球極）。 }{\2 NS 平面zzP 對于平面上的任一點 z，用一條空間直線把它和球極連接起來，交球面于 P。 從幾何上可以看出： Z平面上每個以原點為圓心的圓周對應(yīng)于球面上的某一個緯圈，這個圓周以外的點則對應(yīng)于相應(yīng)緯圈以北的點，而且若點 z的模越大，球面上相應(yīng)的點則越靠近北極 N。 由此我們引進一個理想“點”與北極 N對應(yīng)。稱之為無窮遠點 ?擴充復(fù)平面 ＝ 復(fù)平面 。規(guī)定： {}??, ???????? zz ????約定無窮遠點的實部、虛部及幅角都沒有意義；另外 ,0, ???????? 等也沒有意義。 N 復(fù)平面點集與區(qū)域 （ 1）鄰域 }:{),( 00 rzzCzrzB ????（ 2）去心鄰域 }0:{}{\),( 000 rzzCzzrzB ?????（ 3）內(nèi)點 點 z是點集 E的內(nèi)點 存在 z的某個 r鄰域含于 E內(nèi)，即 ErzB ?),( 0（ 4）外點 點 z是點集 E的外點 存在 z的某個 r鄰域不含 E內(nèi)的點 ??? ErzB ),( 0（ 5）邊界點 點 z 的任意鄰域既有 E 的點，又有非 E 的點 . （ 6）開集 點集 E中的點全是內(nèi)點 （ 7）閉集 開集的余集 空集和整個復(fù)平面既是開集，又是閉集。 （ 8）連通集 E中任意兩點可以用一條全在 E中的曲線連接起來。 （ 9）區(qū)域 非空的連通開集 （ 10）有界區(qū)域 如果存在正數(shù) M，使得對于一切 D中的點 z，有 Mz ?（ 11） 簡單曲線、光滑曲線 ? ??? ????? ttiytxtzzz ),()()(:點集 稱為 z平面上的一條有向曲線。 ? ?)(tzz ?)(?zA ?)(?zB ?則稱 D為有界區(qū)域。 簡單曲線： )()(, 2121 tztztt ???簡單閉曲線： 光滑曲線： 存在、連續(xù)且不全為零)(),( tytx ??（ 12）單連通區(qū)域 設(shè) D為復(fù)平面上的區(qū)域，若在 D內(nèi)的任意簡單閉曲線的內(nèi)部仍屬于 D，則稱 D為 單連通區(qū)域 ，否則稱 多連通區(qū)域 。 沒有交叉點。 平面圖形的復(fù)數(shù)表示 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來表示；也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來確定所表示的平面圖形。 例： Z平面上以原點為中心、 R為半徑的圓周方程為 Rz ?Z平面上以 z_0為中
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