復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案(編輯修改稿)
2025-07-22 19:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 計(jì)算積分,其中為.解 ∵在所圍的區(qū)域內(nèi)解析∴從而故7. 計(jì)算積分,其中積分路徑為（1） （2） （3） （4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個(gè)奇點(diǎn).（2）（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個(gè)奇點(diǎn),故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個(gè)奇點(diǎn),故.(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 計(jì)算積分,其中為(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1.(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 17. 計(jì)算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(2) 中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周解：(1) 內(nèi)包含了奇點(diǎn)∴(2) 內(nèi)包含了奇點(diǎn),∴19. 驗(yàn)證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù). ,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明: ∴,從而是調(diào)和函數(shù). ∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵ ∴不滿足CR方程,從而不是解析函數(shù).,求解析函數(shù)(1) (2)解 (1)因?yàn)? 所以令y=0,上式變?yōu)閺亩?2) 用線積分法，?。▁0,y0）為(1,0)，有由，得C=0,其中各不相同，閉路C不通過(guò),證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).證明: 不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k, 其零點(diǎn)分別為(無(wú)界區(qū)域的柯西積分公式): 設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因?yàn)?在上解析，且所以，當(dāng)Z在C外部時(shí)，有即設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即故有：習(xí)題四1. 復(fù)級(jí)數(shù)與都發(fā)散,?為什么?．反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.2. 下列復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因?yàn)榘l(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散又因?yàn)樗园l(fā)散(3) 發(fā)散,又因?yàn)槭諗?所以不絕對(duì)收斂.(4) 因?yàn)樗约?jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.又因?yàn)楫?dāng)n=2k時(shí), 級(jí)數(shù)化為收斂當(dāng)n=2k+1時(shí), 級(jí)數(shù)化為也收斂所以原級(jí)數(shù)條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.:若,且和收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證明:設(shè)因?yàn)楹褪諗克允諗坑忠驗(yàn)?所以且當(dāng)n充分大時(shí), 所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.解 因?yàn)椴糠趾停?，不存?當(dāng)而時(shí)（即），cosnθ和sinnθ都沒(méi)有極限,所以也不收斂．.故當(dāng)和時(shí), 收斂.=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解： 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，時(shí)發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級(jí)數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散?為什么?(1)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).答: (1) 不正確,因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因?yàn)槭諗康膬缂?jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.,求的收斂半徑。解： 因?yàn)樗?：若冪級(jí)數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時(shí), (2) 當(dāng)時(shí), (3) 當(dāng)時(shí), 證明：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)由于，若，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。當(dāng)，即，不能趨于零,.當(dāng)時(shí), ,級(jí)數(shù)收斂且.若,對(duì)當(dāng)充分大時(shí),必有不能趨于零,，并寫(xiě)出收斂圓周。(1) (2) (3) (4) 解: (１)收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時(shí)絕對(duì)收斂,收斂半徑收斂圓周.(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：所以于是有：(2) 令：故R=∞, 由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：， A, B待定。所以，而發(fā)
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1