[理學(xué)]復(fù)變函數(shù)(4)(編輯修改稿)
2025-01-04 00:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 P N? ???? 一一對(duì)應(yīng)則復(fù)平面上點(diǎn) 球面上點(diǎn) 除 點(diǎn)z P N? ? ? ?當(dāng) 時(shí)，第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運(yùn) 算 ? P? zxy0N — 北極s—南極規(guī)定 : N ?極 平面上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱球面為復(fù)球面 ? ??對(duì)應(yīng)的平面 含 為擴(kuò)充復(fù)平面；.?而不含 的平面為有限復(fù)平面第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運(yùn) 算 ??復(fù)數(shù)為無窮大，記作?關(guān)于 的四則運(yùn)算：? ?a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?加法：? ?a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?減法：? ?0a a a? ? ? ? ? ? ? ?乘法：? ? ? ?00 0aa, a , aa?? ? ? ? ? ? ? ??除法：第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運(yùn) 算 167。 4 167。 6 復(fù)變函數(shù)（極限、概念、連續(xù)） 一、區(qū)域 1. 鄰域 : 0 0z, ? ?已知復(fù)數(shù) 實(shí)數(shù)? ? ? ?00 0?N z z z z? ?? ? ? ?去心鄰域：0xy?0z?第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） ? ? ? ?00N z z z z? ?? ? ?無窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域：? ? ? ?M ?N z M z? ? ? ? ? ?去心鄰域：2. 內(nèi)點(diǎn) : ? ?00G z G , N z G?? ? ?設(shè) 為平面點(diǎn)集， 若0zG稱 為 的內(nèi)點(diǎn)0xyM第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） ? ? ? ?0MN z z M , M? ? ? ?3. 開集 : 若 G內(nèi)每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，稱 G是開集 4. 區(qū)域 : 連通的開集稱為開區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域 （連通集是指集合內(nèi)任何兩點(diǎn)可用完全屬于 5. 邊界點(diǎn) : ? ?D P N P?設(shè) 為一區(qū)域，若點(diǎn) 的任意 內(nèi)，G?0z內(nèi)點(diǎn)?P 邊界點(diǎn)第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） 集合的折線連接起來） 的點(diǎn)，也有不屬于 D中的點(diǎn)，稱 P為 D的邊界點(diǎn)。 有屬于 D DD ?邊界： 的邊界點(diǎn)的全體. 記作6. 閉區(qū)域 : D??開區(qū)域 邊界 閉區(qū)域，記作7. 有界區(qū)域 : 0M , z D , z M? ? ? ? ?若 對(duì) 有稱 D為有界區(qū)域，否則，為無界區(qū)域 . 第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） 二、單連通與復(fù)連通域 1. 平面曲線的幾個(gè)概念 （ 1）連續(xù)曲線 : ? ? ? ?x t , y t t設(shè) 是實(shí)變量 的連續(xù)函數(shù)，則? ?? ? ? ?x x tC a t b .y y t? ????? ???曲線 ： 為平面上連續(xù)曲線? ? ? ? ? ? ? ?z t x t iy t , C z z t ,? ? ?如果令 則曲線 又記為第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） 稱為復(fù)變量實(shí)參數(shù)曲線方程。 （ 2）光滑曲線 : ? ? ? ?x t , y t??設(shè) 連續(xù)，? ? ? ? ? ?22 0x t y t z z t?? ? ? ?, 則曲線 為光滑曲線.（ 3）簡(jiǎn)單曲線 : ? ? ? ?C z z t a t b? ? ?對(duì)連續(xù)曲線 ：? ? ? ?1 2 1 21 t t z t z t , C??若 時(shí)， 則稱 為簡(jiǎn)單曲線(直觀上為無重點(diǎn)曲線 )。 第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） ? ?J a rd a n或若當(dāng)曲線? ? ? ? ? ?2 z a z b?若只有 即起點(diǎn)、終點(diǎn)重合 ，則稱曲線為簡(jiǎn)單閉曲線 . ? ?t a , b??且對(duì)?? ?za簡(jiǎn)單曲線? ?zb?? ? ?zb?? ?za非簡(jiǎn)單曲線?? ? ? ?z a z b?簡(jiǎn)單閉曲線?非簡(jiǎn)單閉曲線第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） 2. 單連通區(qū)域 : 若區(qū)域 B內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，在 B內(nèi)可以 經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點(diǎn)，則稱 B為單連通區(qū)域 . 多連通區(qū)域 : 不是單連通的連通區(qū)域 . 第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） C單連通域（無洞） 多連通域（有洞） B 三、復(fù)變函數(shù) 1. 定義 : G z x iy??設(shè) 是復(fù)數(shù) 構(gòu)成的集合，? ?z G w u i v? ? ???? ? ? ?按法則若對(duì) 一個(gè)或多個(gè) 對(duì)應(yīng)則稱復(fù)變數(shù) w是復(fù)變數(shù) z的函數(shù) . ? ?w f z , z G??記作：? ?? ?G G w w f z , z G? ? ? ?— 定義域， —值域2w z , w Re z , w z .? ? ?單值函數(shù)：如 等等3w z , w Argz .??多值函數(shù)：如 等等第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)） 2. 復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的關(guān)系 ? ? ? ?z x
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