【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】
,則全微分 由近似關(guān)系,得 上式中取,,得 因此,所求近似值。17.求拋物面與拋物柱面的交線上的點(diǎn)處的切線方程和平面方程。解:交線方程,只要取作參數(shù),得參數(shù)方程: 則有,,于是交線在點(diǎn)處的切線向量為。切線向量為法平面方程為,即。18.求曲面上點(diǎn)處的切平面方程和法線方程。解:記,則,于是曲面在點(diǎn)處的法線向量為從而,切平面方程為,即,法線方程為。19.求曲線,上點(diǎn),使在該點(diǎn)處曲線的切線平行于平面。解:曲線在點(diǎn)處的切線方程為又切線與平面平行,即切線的方向向量和平面的法向量垂直,應(yīng)有,即,得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為。20.求函數(shù)的極值。解:解方程組,求得駐點(diǎn),由于,,所以在點(diǎn)處,函數(shù)取得極大值,極大值為。21.求函數(shù)的極值。解:解方程組,得駐點(diǎn)。由于,在點(diǎn)處,,,所以函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值,極小值為。22.要建造一個(gè)容積為10立方米的無蓋長(zhǎng)方體貯水池,底面材料單價(jià)每平方米20元,側(cè)面材料單價(jià)每平方米8元。問應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸,方便材料造價(jià)最???解:設(shè)水池的長(zhǎng)為米,寬為米,高為米,則材料造價(jià)為,(,),*1且,必須滿足, *2從*2解出代入*1,得,(,),于是問題就成為求當(dāng),時(shí)的最小值,由極值的必要條件,有解此方程組得。據(jù)題意存在最小造價(jià),而,是唯一駐點(diǎn),所以當(dāng),時(shí),水池的材料造最小。(B)1.求下列函數(shù)的定義域(1)解:設(shè)定義域。使有意義的區(qū)域?yàn)椋海?,使有意義的區(qū)域?yàn)椋?,即。故定義域。如圖2 (2)解:設(shè)定義域?yàn)椤S筛叫再|(zhì)可知,必須,且,即或解得:0 0 1 y y x x 3 0圖2。如圖32.(1)設(shè),求。解:設(shè),則得由此從而(2)設(shè),求解:.3.求下列函數(shù)的極限(1)解:原式(2) 解:原式4.設(shè),問是否存在?解:①取沿直線的途徑,當(dāng)時(shí),有,②沿拋物線的途徑,當(dāng)時(shí),有可見,沿兩條不同的途徑,函數(shù)的極限不同,故極限不存在。5.討論函數(shù)的連續(xù)性,其中。解:在處,所以在處連續(xù)若,則取路徑,則因此,間斷點(diǎn)為直線,除以外的其他點(diǎn)。6.二元函數(shù)在點(diǎn)處:①連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在;②連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在;③不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在;④不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在。解:應(yīng)選③事實(shí)上,由于,隨的值不同而改變,所以極限不存在