多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習(xí)題及答案(編輯修改稿)
2025-07-04 17:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，則全微分 由近似關(guān)系，得 上式中取，，得 因此，所求近似值。17．求拋物面與拋物柱面的交線上的點(diǎn)處的切線方程和平面方程。解：交線方程，只要取作參數(shù)，得參數(shù)方程： 則有，，于是交線在點(diǎn)處的切線向量為。切線向量為法平面方程為，即。18．求曲面上點(diǎn)處的切平面方程和法線方程。解：記，則，于是曲面在點(diǎn)處的法線向量為從而，切平面方程為，即，法線方程為。19．求曲線，上點(diǎn)，使在該點(diǎn)處曲線的切線平行于平面。解：曲線在點(diǎn)處的切線方程為又切線與平面平行，即切線的方向向量和平面的法向量垂直，應(yīng)有，即，得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為。20．求函數(shù)的極值。解：解方程組，求得駐點(diǎn)，由于，，所以在點(diǎn)處，函數(shù)取得極大值，極大值為。21．求函數(shù)的極值。解：解方程組，得駐點(diǎn)。由于，在點(diǎn)處，，，所以函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，極小值為。22．要建造一個(gè)容積為10立方米的無蓋長(zhǎng)方體貯水池，底面材料單價(jià)每平方米20元，側(cè)面材料單價(jià)每平方米8元。問應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸，方便材料造價(jià)最??？解：設(shè)水池的長(zhǎng)為米，寬為米，高為米，則材料造價(jià)為，(，)，*1且，必須滿足， *2從*2解出代入*1，得，(，)，于是問題就成為求當(dāng)，時(shí)的最小值，由極值的必要條件，有解此方程組得。據(jù)題意存在最小造價(jià)，而，是唯一駐點(diǎn)，所以當(dāng)，時(shí)，水池的材料造最小。(B)1．求下列函數(shù)的定義域(1)解：設(shè)定義域。使有意義的區(qū)域?yàn)椋海?，使有意義的區(qū)域?yàn)椋?，即。故定義域。如圖2 (2)解：設(shè)定義域?yàn)椤Ｓ筛叫再|(zhì)可知，必須，且，即或解得：0 0 1 y y x x 3 0圖2。如圖32．(1)設(shè)，求。解：設(shè)，則得由此從而(2)設(shè)，求解：.3．求下列函數(shù)的極限(1)解：原式(2) 解：原式4．設(shè)，問是否存在？解：①取沿直線的途徑，當(dāng)時(shí)，有，②沿拋物線的途徑，當(dāng)時(shí)，有可見，沿兩條不同的途徑，函數(shù)的極限不同，故極限不存在。5．討論函數(shù)的連續(xù)性，其中。解：在處，所以在處連續(xù)若，則取路徑，則因此，間斷點(diǎn)為直線，除以外的其他點(diǎn)。6．二元函數(shù)在點(diǎn)處：①連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；②連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；③不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；④不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。解：應(yīng)選③事實(shí)上，由于，隨的值不同而改變，所以極限不存在
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