【正文】 【例】：①設(shè)是曲面2在點(diǎn)A(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量，求u=在A點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)；②求z=在點(diǎn)A(2,3)處沿曲線的切線且朝x值增大以方向?qū)?shù)。取定：y=0 == 若P(0，0)，方向?yàn)閤軸的負(fù)向。數(shù)量場(chǎng)本身并不依賴于任何坐標(biāo)系，但是為了描述、研究這種存在于空間中的自然現(xiàn)象，必須建立合適的坐標(biāo)系，用一個(gè)定義在該空間中的數(shù)量函數(shù)來標(biāo)征這個(gè)數(shù)量場(chǎng)。4=0下的最小值點(diǎn)。+4y178。【例】：（95—IV）時(shí)z=x2y（4xy）D由x軸，y軸，x+y=6所圍成，求z在D上的最大值和最小值（M，m）。 證明：不妨設(shè)（x0，y0）為極大值，即（x，y）U（Po）都有f（x，y）f（x0，y0），對(duì)于y=y0，xx0，則f（x，y0）f（x0，y0），即f（x0，y0）是一元可導(dǎo)函數(shù)f（x，y0）的極大值點(diǎn)，從而（x0，y0）=0。說明1：多元函數(shù)的極值從定義的角度來比較與一元函數(shù)的情形沒有區(qū)別，但在確定極值點(diǎn)的過程中，需要考慮得更多一點(diǎn)，因?yàn)樵谶@里自變量變化的范圍是多維的。②（00I）求曲面x+2y+3z=21在點(diǎn)（1，2，2）的法線方程.解：①令F（x，y，z）=，則=（2y，2x，）代入（1，2，0），={4，2，0}切平面：4(x1)+2(y2)=0，即2x+y4=0。又因?yàn)樵谏?。?滿足條件的為二條(一般曲線方程)，柱面交線Г：,求它在x對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線及法平面。P0(x0,y0,z0),設(shè)t對(duì)應(yīng)的增量x,y,z.且P(x0+x,y0+y,z0+z)∴ P0P的方程：== 分子分別乘以t，則==令得：== —— 切線方程稱{ x180。解：兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)：對(duì)兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)：對(duì)上面兩個(gè)方程可以解出得：。求解：令則則代入：得。代入，整理可得結(jié)果。第五節(jié) 隱函數(shù)的微分法一、內(nèi)容要點(diǎn) 1．由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)， 2．由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1． 會(huì)求由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2．會(huì)求由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)注意點(diǎn)：在計(jì)算由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意區(qū)分哪些是自變量，哪些是因變量，一般來說，有多少個(gè)方程就可以確定多少個(gè)因變量，剩下的全是自變量?！纠浚?，其中有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)。 【例】：（1）、求。四、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題一、 全導(dǎo)數(shù)定理1：設(shè)，在點(diǎn)x處可導(dǎo)，在x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（u，v）處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。 定理3：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)可微分。既∴ 同理：令，得到：。三、教學(xué)設(shè)計(jì)安排 時(shí)間分配：（1） 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（10分鐘）；（2） 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（10分鐘）；（3） 復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元和多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（10分鐘）；（4） 例題（30分鐘）；（5） 全微分形式的不變性（20分鐘）。解：由上面可知，答案是（C）【921】：，在（0，0）處（ ）。幾何意義表示：曲面與平面y=y0相交的曲線Cx，在平面y=y0內(nèi)在x=x0處的切線斜率。求f在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【注】求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，將y視為常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)數(shù)。說明4：混合導(dǎo)數(shù)與次序無關(guān)的條件在初等函數(shù)的范圍內(nèi)是很容易滿足的，不必過分強(qiáng)調(diào)它的條件。特別：取得函數(shù)可以取得最大值與最小值之間的一切值?！祭剑?）顯然有：，但是二次極限不存在。三、求極限的方法一元函數(shù)求極限的方法及運(yùn)算法則（）對(duì)多元函數(shù)依舊成立。如：，其定義域?yàn)椋篋={(x，y)| }。【注】與定義1相似，我們可以直接定義n元函數(shù)（n≥1）； 定義1中，當(dāng)x，y的值取定后，z的取值就根據(jù)f的方程來定。所有邊界點(diǎn)組成的集合稱為邊界。教學(xué)注意點(diǎn)：多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)極限的定義表面上看起來非常相似，但也有不同的地方，要特別提醒學(xué)生注意，一元函數(shù)的方向極限只有兩個(gè)，即左極限和右極限，但多元函數(shù)的方向極限有無限多個(gè)，動(dòng)點(diǎn)可以沿著直線的方向趨于定點(diǎn)，也可以沿著曲線的方向趨于定點(diǎn)，這意味著多元函數(shù)的極限較一元函數(shù)的極限復(fù)雜得多。(5) 掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用上冊(cè)研究了一元函數(shù)微分法，利用這些知識(shí)，我們可以求直線上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，也可以求曲線的切線的斜率，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值等，但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因?yàn)橐辉瘮?shù)只是研究了由一個(gè)因素確定的事物。(6) 會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。三、教學(xué)設(shè)計(jì)與安排 時(shí)間分配：（1） 平面點(diǎn)集和n維空間（30分鐘）；（2） 多元函數(shù)的定義（10分鐘）；（3） 多元函數(shù)的極限（40分鐘）；（4） 多元函數(shù)的連續(xù)性（20分鐘）；說明1：把一元函數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)之前必須把多維空間的領(lǐng)域概念解釋清楚，因?yàn)槎嘣瘮?shù)許多與一元函數(shù)不同的特殊性質(zhì)是由多維空間中的領(lǐng)域性質(zhì)決定的。 連通：如果點(diǎn)集內(nèi)的任意兩點(diǎn)都能用全屬于的折線連接起來，則稱為連通的。通常情況下，這個(gè)值是唯一的，這時(shí)我們稱為單值函數(shù)，但有時(shí)侯取值不是唯一的，這時(shí)我們稱為多值函數(shù)。 二元函數(shù)的圖形由上一章的內(nèi)容可知是一張曲面。如：兩個(gè)重要極限，等價(jià)無窮小法則等等。 （2）、上面例題說明，在（0，0）處的二重極限不存在。第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)一、內(nèi)容要點(diǎn)1． 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法2． 高階偏導(dǎo)數(shù)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，并會(huì)求具體多元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)，知道多元函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 說明5：在二元函數(shù)的情況，函數(shù)在某一點(diǎn)可微的幾何意義就是曲面在這一點(diǎn)有切平面存在。求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，將x視為常數(shù)，對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。解：因?yàn)楹瘮?shù)在整個(gè)定義域內(nèi)表達(dá)形式不一樣，所以在這里我們只能根據(jù)定義來求解。其中：，如圖所示：二、 高階偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)有函數(shù)，稱，為函數(shù)的二階純偏導(dǎo)數(shù)，而稱，為函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)。（A）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 （B）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在（C）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 （D）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在解：由上可知，答案是（C）【941】，求解：代入，得=。說明：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是微分運(yùn)算中的最基本的法則，務(wù)必熟練應(yīng)用?！? 【注】（1）、討論函數(shù)在P（x，y）處是否可微的方法：若：=0，則在P（x，y）處可微分。 證明： ，由Lagrange中值定理： = =，其中∵ 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ∴ ， 其中，代入：由于：∴ ∴ 函數(shù)可微。則一元函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，稱其為全導(dǎo)數(shù)。 解：， 且：， ∴ 二、 復(fù)合函數(shù)微分法定理2：設(shè)函數(shù)， ，在點(diǎn)（x，y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)（x，y）處有對(duì)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)，且有下列公式：……公式（2）記憶方法：如圖〖注〗：連線相乘，分線相加。求