【正文】 作業(yè) ： P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示 :仿例 3). “ 第 18章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 ” 的習(xí)題課 一、內(nèi)容要求 了解隱函數(shù)的概念，理解隱函數(shù)存在唯一性定理、可微性定理，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法 了解隱函數(shù)組的概念，理解隱函數(shù)組定理、掌握求導(dǎo)法，了解反函數(shù)定理與坐標(biāo)變換 會(huì)求平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與與法平面，曲面的切平面與法線 會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值問(wèn)題 (極值、最值、不等式 ) 二、作業(yè)問(wèn)題 P151， 1， 2； P158， 6 三、練習(xí) ( 1 ) ? 3)( 1 ) ? 2)( 1 ) ? 1).( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) , 滿足問(wèn)有多少單值連續(xù)函數(shù)設(shè)滿足方程問(wèn)有多少單值連續(xù)函數(shù)滿足方程問(wèn)有多少單值函數(shù)的單值函數(shù)為滿足及設(shè)已知方程)2(,0)1()(。但是，另外還有很多極值問(wèn)題，其極值點(diǎn)的搜索范圍還受到各自不同條件的限制。0)()(。),(),(:000000000400000???????PvuGFJGFVvuyxGvuyxFRVvuyxPvuyxGvuyxF ( i v ) ( i i i ))。 1 隱函數(shù) 一、 隱函數(shù)概念 .).si nsi n(si n,1,22顯函數(shù)這種形式的函數(shù)稱為如式是自變量的某個(gè)算式若函數(shù)的因變量的表達(dá)zxyzxyeuyxz xyz ?????? .J ,I)1( ( 1 ) ,x ,Jy,Ix ,YJXI)1( ,0)y,x(F .RYX:F,RY,RX隱函數(shù)的值域含于上確定一個(gè)定義在則稱由方程滿足方程一起它與唯一的使得與若存在集合對(duì)于方程函數(shù)一個(gè)方程確定。0))(,()())(,(),)(),()(),0),()(00000000000內(nèi)連續(xù)在）且時(shí)當(dāng)）使得函數(shù)隱內(nèi)的定義在某區(qū)間唯一地確定內(nèi)，方程的某鄰域則在點(diǎn)???????????????????xxxfxfxFPUxfxxxxyxfxfyxxyxFDPUP( 2 , ( 1(.],[),(],[.0),(,],[],[,.0),(,.0000000000且連續(xù)上嚴(yán)格增在關(guān)于故使其上每點(diǎn)局部保號(hào)由不妨由）存在唯一性證：???????????????????????yyyyxFxxxyxFDyyxxFyxFyyy ( i i i ) , ( i v ) 1 A???????B A’ +++++++B’ P0 .0),(,0),(,),((,],[),(),(.0),(,0),(000000000000?????????????????????????????yxFyxFxxxxxyxFyxFyxFyxF ],0, ( i ) , ( i i ) ,時(shí)使當(dāng)性由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)上連續(xù)在和由由).()(),(0),(.0),(),( ),(,0,0000000xfyxxyxFyxFyyyxxxFBAFABABAB???????????????????函數(shù)隱內(nèi)的間唯一地確定了定義在區(qū)即方程使唯一因此上邊上的如圖，在矩形??????A???????B A’ +++++++B’ P0 .0))(,()())(,( ,),( ,)(),(),()(0000000000????????????xfxFPUxfxxxxyxfyyxxPU且時(shí)當(dāng)則令??????).(),)( 00 略內(nèi)連續(xù)在） ?? ?? xxxf ( 2? ? .0)(,),(0,022),(???????xxFxyxxyyxF yx?? 滿足內(nèi)確定唯一一個(gè)隱函數(shù)的某鄰域在驗(yàn)證二元方程：練習(xí)? ? .0)(,),(0???xxFxyx?? 滿足確定唯一一個(gè)隱函數(shù)的某鄰域內(nèi)定理的條件，所以，在滿足隱函數(shù)存在唯一性 .02ln)0,0()0,0(2ln2),()0,0()0,0(22),(?????????yyyyxFxyxFFxyyxF）的鄰域內(nèi)連續(xù)，在），）的鄰域內(nèi)連續(xù)，在）因?yàn)?，解? 3 02 1 ( i v ) . ( i i i ) ,i) , 1 8 . 1 但不滿足處滿足在點(diǎn)例如的條件僅僅是充分條件定理：()0,0(,)()()(,.12222233yxyxx , yFxyx , yF??????注意 . ( i v) ,iii)18. 1 嚴(yán)格單調(diào)的某鄰域內(nèi)關(guān)于在可減弱為和的條件定理 yPF 0(.2).(,0),(,),((.3 00ygxyxFyxF xx??函數(shù)結(jié)論是存在唯一的連續(xù)連續(xù)改為和的條件定理 ( i v )i i i )18 . 1 .),(),()( ),()()1( ),(( i v ) ,( i )1 8 . 1),( )(00yxFyxFxfxxxfyyxFDyxFyxx??????導(dǎo)函數(shù)，且內(nèi)有連續(xù)在其定義域所確定的隱函數(shù)則由方程內(nèi)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)又設(shè)在條件的滿足定理設(shè)函數(shù)隱函數(shù)可微性定理?? 1 定理.0),())(,( ),()(),( ),(, 0000????????????????????yyxxFxfxFyyxxfyyxfyxxxxx且則設(shè)證：????,y)yy,xx(Fx)yy,xx(F)y,x(F)yy,xx(Fyx ?????????????????????? 0 故,),( ),( yyxxF yyxxFxyyx???????????????? .),),( ),(lim)( 000內(nèi)連續(xù)且在 ?? ??????????xxyxF yxFxyxfyxx( 例 1. 驗(yàn)證方程 在點(diǎn) (0,0)某鄰域 可 確定一個(gè) 單值可導(dǎo)隱函數(shù) 0dd,0dd22?? xxyxxy解 : 令 ,1s in),( ???? yxeyyxF x則 并求 ,F,0)0,0( ?F,yeF xx ?? 連續(xù) , 由 定理可知 , 1)0,0( ?yF 0?導(dǎo)的隱函數(shù) xyF y ?? c o s在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可 且 0dd?xxy0??? xFFyx ?? xy ?c o sye x ?0,0 ?? yx0dd22?xxy)c o s(dd xy yexx????2)c o s( xy ???3?? 100?????yyx)( ye x ?? )( c o s xy ? )( ye x ? )1s in( ???? yy0?? xy30dd22???xxy)(,01s in xyyyxey x ?????兩邊對(duì) x 求導(dǎo) 兩邊再對(duì) x 求導(dǎo) yyyy ??????? c o s)(s in 2令 x = 0 , 注意此時(shí) 1,0 ???? yy)0,0(c o s xyye x????導(dǎo)數(shù)的另一求法 — 利用隱函數(shù)求導(dǎo) ).(),(0,022),(xxyxxyyxF yx?? ???????并求連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)鄰域內(nèi)確定唯一一個(gè)有的某在驗(yàn)證二元方程： 練習(xí).2ln2 2ln2)( yxxyx??????答：.注：導(dǎo)數(shù)有兩種求法連續(xù)可微性定理元隱函數(shù)的存在唯一與并有下列元隱函數(shù)的概念所確定的類似地理解由方程nnyxxF n .0),( 1 ??., , )(),( 2),( ,)),(,( ),()),(,( ,)(),( 1),(),()(),(),()(yxxyxxxxnnnnnnnnnnnFFfFFfffQUxxfyxxfyxxfxxFPUxxfxxQUxxxxfynRQUxxQyxxFDPUPnnn?????????????????????????111010010110110110001010000而且內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在）且時(shí)）當(dāng)使得隱函數(shù)元連續(xù)函數(shù)內(nèi)的的某鄰域一個(gè)定義在唯一地確定了內(nèi)，方程的某鄰域則在點(diǎn),),( ( i v ), ( i i i ),),( ( i i ),),(),( ( i ) : 000001000110001011????yxxFDFFFyxxFRDyxxPyxxFnyyxxnnnnn?????內(nèi)存在且連續(xù)在偏導(dǎo)數(shù)上連續(xù)為內(nèi)點(diǎn)的區(qū)域在以若滿足下列條件 1 8 . 3 定理例 2. 設(shè) ,04222 ???? zzyx解法 1 利用隱函數(shù)求導(dǎo) 0422 ??????? xzxzzx zxxz ???? 2?2 04 22????xz2)(1xz???.22xz??求再對(duì) x 求導(dǎo) 解法 2 利用公式 設(shè) zzyxzyxF 4),( 222 ????則 ,2 xF x ?zxFFxz ?????兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo) )2(22zxxxz??????322)2()2(zxz????2??? zxzx?? 242 ?? zF z.求法注：隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的作業(yè) ： P151, 1,2 , 3(2)(5), 5. 四、隱函數(shù)問(wèn)題舉例 (自練 ) .0s i n21),( 確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)討論 ???? yxyyxF 例1.0333和二階導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)的一階討論笛卡兒葉形線??? axyyx 例2.0),( 323元隱函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)附近所確定的二討論????? zyxxyzzyxF 例3.,)(,)( 000其導(dǎo)數(shù)討論反函數(shù)的存在性與且的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù) yxfxxfy ?? 例4167。)2,1,1,2(,0000的鄰域內(nèi)連續(xù)在的鄰域內(nèi)連續(xù)在解：PGGxGyGvFuFFxFPGPFPGFvuyxvuyx??????????????? 2 1 ooo:!2!2!4)2,1,1,2( 240 個(gè)雅克比式處在 64 o ???CP.01144),(),(,61142