【正文】 對唯一一個則或若限定兩個通過方程對應二元方程例? ? .0)(,),(),(),(),(022),(??????????xxFxyyxxyyxF yx?????? 3 即即后面證明通過方程對應唯一一個內，在原點某鄰域二元方程例).(),(022xyxzxyz yx??????????相交成平面單值曲線時在與平面空間曲面幾何意義 :., 的取值范圍后才有意義它的方程以及隱函數(shù)必須在指出確定 yx.0s i n21,022 ?????? yxycyx 又如方程..)(.)(微性但要研究其連續(xù)性和可函數(shù)隱函數(shù)一般不能化成顯確定隱函數(shù)要研究什么條件下才能 ii i 二、隱函數(shù)存在性條件的分析 .0),()1( 的交集與的點集可看作滿足方程 ?? zyxFz0. ),( ),( ??00000.,)1(.1yxFyxP 使得則交集非空能確定隱函數(shù)若方程.0),(0),(((,.200000相交成平面曲線與在點從而相交于直線的切平面與在點則且可微在點若?????zPyxFzlzPyxFzPFPFPFyx . ( 0 , 0 ) ,))),( .((,0((,)(000000))dd dd)) PFPFxyxyPFPFxfyyxxxxxyx ???????則由鏈式法則可微若要求三、隱函數(shù)定理 .0),()。 1 隱函數(shù) 一、 隱函數(shù)概念 .).si nsi n(si n,1,22顯函數(shù)這種形式的函數(shù)稱為如式是自變量的某個算式若函數(shù)的因變量的表達zxyzxyeuyxz xyz ?????? .J ,I)1( ( 1 ) ,x ,Jy,Ix ,YJXI)1( ,0)y,x(F .RYX:F,RY,RX隱函數(shù)的值域含于上確定一個定義在則稱由方程滿足方程一起它與唯一的使得與若存在集合對于方程函數(shù)一個方程確定。0(),( ( i i )),( ( i ) 內存在連續(xù)的偏導數(shù)在初始條件上連續(xù)為內點的某一區(qū)域在以函數(shù)若滿足下列條件隱函數(shù)存在唯一性定理 )( 定理.),)(。),(),(:000000000400000???????PvuGFJGFVvuyxGvuyxFRVvuyxPvuyxGvuyxF ( i v ) ( i i i ))。0)()(。0)()(。 解 2 將所給方程的兩邊對 x 求導并移項，得 ???????????1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy?,zy xzdxdy ??? ,zy yxdxdz ???,0)1,2,1(??dxdy ,1)1,2,1(???dxdz由此得切向量 },1,0,1{ ??T?所求切線方程為 ,1 10 21 1 ?????? zyx法平面方程為 ,0)1()2(0)1( ????????? zyx 11 .?? zx 即三、 曲面方程的切平面與法線 ).0),((),(,0),(0000000??zyxFzyxPzyxFz設這里不妨條件的某鄰域內滿足隱函數(shù)它在點給出設曲面由方程 ( 1 1 ) ),(),(),()(),(),(:0000000000000000yyzyxFzyxFxxzyxFzyxFzzPzyzx ??????處的切平面方程則推出在點.1),(),(),(),(000000000000000???????? zzzyxFzyxFyyzyxFzyxFxxzyzx :法線方程( 1 2 ) ,0))(,())(,())(,(: ,000000000000 ?????? zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx切平面方程分別改寫為( 1 3 ) .),(),(),( :000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx?????法線方程例 3 求曲面 32 ??? xyez z 在點 )0,2,1( 處的切平面 及法線方程 . 解 ,32),( ???? xyezzyxF z,42 )0,2,1()0,2,1( ??? yF x ,22 )0,2,1()0,2,1( ??? xF y,01 )0,2,1()0,2,1( ???? zz eF令 切平面方程 法線方程 ,0)0(0)2(2)1(4 ??????? zyx,042 ???? yx.0 01 22 1 ????? zyx 4.)5,4,2(4 022和法線方程處的切平面方程在求曲面： ??? Pzyx 練習.)2(,52}4,2,2{152412????? ????????zyxzyxyxn ( 1 ) { 4 , 8 , 4 } , ( 2, 4, 5 )?解：小結： ?平面曲線的切線和法線； ?空間曲線的切線和法平面； ?曲面的切平面和法線。但是，另外還有很多極值問題，其極值點的搜索范圍還受到各自不同條件的限制。 ( 1 2 ) ,( 3 )( 2 ),),(),(),(121212121????mknkknmnxxxxxxfxxxL?????????構造拉格朗日函數(shù)表示的條件極值問題和對于一般的,(,),(,),1,0()0(1)0()0(1)0()0(111)0()0(100?????????????????nmPnmmnnkxxmmxxxxxxPDDmkf使得個常數(shù)則存在的秩為且雅可比矩陣是上述問題的極值點的內點若內有連續(xù)的一階偏導數(shù)在區(qū)域與其中下的極值問題在條件對于函數(shù) ,( 1 3 ) ,( 3 )( 2 ) 11???????????????????????定理1 8 . 6. : ,的解個方程下述為即的穩(wěn)定點為拉格朗日函數(shù)??????????????????????????????????0),(,0),(,0,0),()12()2121111 11)0()0(1)0()0(1)0(11nmnmk nkknxmkkkxmnmxxxLxxxLxxfLxxfLmnxxmn??????????????????????? .題能判斷有極值的極值問根據(jù)具體( 實際) 問題 1.三、 例題 .問題求解本節(jié)的水箱設計的用拉格朗日乘數(shù)法重新 例1. )()(2),( Vx yzxyyzxzzyxL ????? ??設拉格朗日函數(shù)解： ??????????????????????,0,0)(2,02,02Vxy zLxyyxLxzxzLyzyzLzyx????解方程組.22)4(。 作業(yè) ： P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示 :仿例 3). “ 第 18章 隱函數(shù)定理及其應用 ” 的習題課 一、內容要求 了解隱函數(shù)的概念，理解隱函數(shù)存在唯一性定理、可微性定理，掌握隱函數(shù)的求導法 了解隱函數(shù)組的概念，理解隱函數(shù)組定理、掌握求導法，了解反函數(shù)定理與坐標變換 會求平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與與法平面，曲面的切平面與法線 會用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值問題 (極值、最值、不等式 ) 二、作業(yè)問題 P151， 1， 2； P158， 6 三、練習 ( 1 ) ? 3)( 1 ) ? 2)( 1 ) ? 1).( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) , 滿足問有多少單值連續(xù)函數(shù)設滿足方程問有多少單值連續(xù)函數(shù)滿足方程問有多少單值函數(shù)的單值函數(shù)為滿足及設已知方程)2(,0)1()(。1 6 91243,0)12(12)4(4)3(3:124312124433 zyxzyxzyxzyx???????????????? 即法線即切平面 .t a n,t a n, 22222222兩兩直交試證球坐標曲面 ?? zyxxyrzyx ??????7處的法向量分別為各曲面在交點證 ),(: zyx},t a n2,2,2{},0,1,{ t a n},2,2,2{ 2321 ?? zyxnnzyxn ????? ???.02t an2,0t an444,02t an23222223121?????????????yxnnzyxnnyxnn????????? .兩兩直交故 . 軸成定角的切線與試證螺旋線 Ozbtztaytax ??? ,s i n,c o s8,},c o s,s i n{ btataT ???切向量證：.0,|||| 2233 ???????????babeTeTOz????co s 的余弦軸夾角切線與.cos 軸成定角為常數(shù)，故知切線與由于 Oz?.,0),(22并求原方程的解將它化簡為新方程利用變換滿足方程設 ????????????????????yxyzxzyxzz9??????????????????????????????????????????????