【正文】 對(duì)唯一一個(gè)則或若限定兩個(gè)通過(guò)方程對(duì)應(yīng)二元方程例? ? .0)(,),(),(),(),(022),(??????????xxFxyyxxyyxF yx?????? 3 即即后面證明通過(guò)方程對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)內(nèi)，在原點(diǎn)某鄰域二元方程例).(),(022xyxzxyz yx??????????相交成平面單值曲線(xiàn)時(shí)在與平面空間曲面幾何意義 :., 的取值范圍后才有意義它的方程以及隱函數(shù)必須在指出確定 yx.0s i n21,022 ?????? yxycyx 又如方程..)(.)(微性但要研究其連續(xù)性和可函數(shù)隱函數(shù)一般不能化成顯確定隱函數(shù)要研究什么條件下才能 ii i 二、隱函數(shù)存在性條件的分析 .0),()1( 的交集與的點(diǎn)集可看作滿(mǎn)足方程 ?? zyxFz0. ),( ),( ??00000.,)1(.1yxFyxP 使得則交集非空能確定隱函數(shù)若方程.0),(0),(((,.200000相交成平面曲線(xiàn)與在點(diǎn)從而相交于直線(xiàn)的切平面與在點(diǎn)則且可微在點(diǎn)若?????zPyxFzlzPyxFzPFPFPFyx . ( 0 , 0 ) ,))),( .((,0((,)(000000))dd dd)) PFPFxyxyPFPFxfyyxxxxxyx ???????則由鏈?zhǔn)椒▌t可微若要求三、隱函數(shù)定理 .0),()。 1 隱函數(shù) 一、 隱函數(shù)概念 .).si nsi n(si n,1,22顯函數(shù)這種形式的函數(shù)稱(chēng)為如式是自變量的某個(gè)算式若函數(shù)的因變量的表達(dá)zxyzxyeuyxz xyz ?????? .J ,I)1( ( 1 ) ,x ,Jy,Ix ,YJXI)1( ,0)y,x(F .RYX:F,RY,RX隱函數(shù)的值域含于上確定一個(gè)定義在則稱(chēng)由方程滿(mǎn)足方程一起它與唯一的使得與若存在集合對(duì)于方程函數(shù)一個(gè)方程確定。0(),( ( i i )),( ( i ) 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)在初始條件上連續(xù)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域在以函數(shù)若滿(mǎn)足下列條件隱函數(shù)存在唯一性定理 )( 定理.),)(。),(),(:000000000400000???????PvuGFJGFVvuyxGvuyxFRVvuyxPvuyxGvuyxF ( i v ) ( i i i ))。0)()(。0)()(。 解 2 將所給方程的兩邊對(duì) x 求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 ???????????1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy?,zy xzdxdy ??? ,zy yxdxdz ???,0)1,2,1(??dxdy ,1)1,2,1(???dxdz由此得切向量 },1,0,1{ ??T?所求切線(xiàn)方程為 ,1 10 21 1 ?????? zyx法平面方程為 ,0)1()2(0)1( ????????? zyx 11 .?? zx 即三、 曲面方程的切平面與法線(xiàn) ).0),((),(,0),(0000000??zyxFzyxPzyxFz設(shè)這里不妨條件的某鄰域內(nèi)滿(mǎn)足隱函數(shù)它在點(diǎn)給出設(shè)曲面由方程 ( 1 1 ) ),(),(),()(),(),(:0000000000000000yyzyxFzyxFxxzyxFzyxFzzPzyzx ??????處的切平面方程則推出在點(diǎn).1),(),(),(),(000000000000000???????? zzzyxFzyxFyyzyxFzyxFxxzyzx :法線(xiàn)方程( 1 2 ) ,0))(,())(,())(,(: ,000000000000 ?????? zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx切平面方程分別改寫(xiě)為( 1 3 ) .),(),(),( :000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx?????法線(xiàn)方程例 3 求曲面 32 ??? xyez z 在點(diǎn) )0,2,1( 處的切平面 及法線(xiàn)方程 . 解 ,32),( ???? xyezzyxF z,42 )0,2,1()0,2,1( ??? yF x ,22 )0,2,1()0,2,1( ??? xF y,01 )0,2,1()0,2,1( ???? zz eF令 切平面方程 法線(xiàn)方程 ,0)0(0)2(2)1(4 ??????? zyx,042 ???? yx.0 01 22 1 ????? zyx 4.)5,4,2(4 022和法線(xiàn)方程處的切平面方程在求曲面： ??? Pzyx 練習(xí).)2(,52}4,2,2{152412????? ????????zyxzyxyxn ( 1 ) { 4 , 8 , 4 } , ( 2, 4, 5 )?解：小結(jié)： ?平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn)； ?空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法平面； ?曲面的切平面和法線(xiàn)。但是，另外還有很多極值問(wèn)題，其極值點(diǎn)的搜索范圍還受到各自不同條件的限制。 ( 1 2 ) ,( 3 )( 2 ),),(),(),(121212121????mknkknmnxxxxxxfxxxL?????????構(gòu)造拉格朗日函數(shù)表示的條件極值問(wèn)題和對(duì)于一般的,(,),(,),1,0()0(1)0()0(1)0()0(111)0()0(100?????????????????nmPnmmnnkxxmmxxxxxxPDDmkf使得個(gè)常數(shù)則存在的秩為且雅可比矩陣是上述問(wèn)題的極值點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)若內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域與其中下的極值問(wèn)題在條件對(duì)于函數(shù) ,( 1 3 ) ,( 3 )( 2 ) 11???????????????????????定理1 8 . 6. : ,的解個(gè)方程下述為即的穩(wěn)定點(diǎn)為拉格朗日函數(shù)??????????????????????????????????0),(,0),(,0,0),()12()2121111 11)0()0(1)0()0(1)0(11nmnmk nkknxmkkkxmnmxxxLxxxLxxfLxxfLmnxxmn??????????????????????? .題能判斷有極值的極值問(wèn)根據(jù)具體( 實(shí)際) 問(wèn)題 1.三、 例題 .問(wèn)題求解本節(jié)的水箱設(shè)計(jì)的用拉格朗日乘數(shù)法重新 例1. )()(2),( Vx yzxyyzxzzyxL ????? ??設(shè)拉格朗日函數(shù)解： ??????????????????????,0,0)(2,02,02Vxy zLxyyxLxzxzLyzyzLzyx????解方程組.22)4(。 作業(yè) ： P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示 :仿例 3). “ 第 18章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 ” 的習(xí)題課 一、內(nèi)容要求 了解隱函數(shù)的概念，理解隱函數(shù)存在唯一性定理、可微性定理，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法 了解隱函數(shù)組的概念，理解隱函數(shù)組定理、掌握求導(dǎo)法，了解反函數(shù)定理與坐標(biāo)變換 會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法線(xiàn)，空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與與法平面，曲面的切平面與法線(xiàn) 會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值問(wèn)題 (極值、最值、不等式 ) 二、作業(yè)問(wèn)題 P151， 1， 2； P158， 6 三、練習(xí) ( 1 ) ? 3)( 1 ) ? 2)( 1 ) ? 1).( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) , 滿(mǎn)足問(wèn)有多少單值連續(xù)函數(shù)設(shè)滿(mǎn)足方程問(wèn)有多少單值連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足方程問(wèn)有多少單值函數(shù)的單值函數(shù)為滿(mǎn)足及設(shè)已知方程)2(,0)1()(。1 6 91243,0)12(12)4(4)3(3:124312124433 zyxzyxzyxzyx???????????????? 即法線(xiàn)即切平面 .t a n,t a n, 22222222兩兩直交試證球坐標(biāo)曲面 ?? zyxxyrzyx ??????7處的法向量分別為各曲面在交點(diǎn)證 ),(: zyx},t a n2,2,2{},0,1,{ t a n},2,2,2{ 2321 ?? zyxnnzyxn ????? ???.02t an2,0t an444,02t an23222223121?????????????yxnnzyxnnyxnn????????? .兩兩直交故 . 軸成定角的切線(xiàn)與試證螺旋線(xiàn) Ozbtztaytax ??? ,s i n,c o s8,},c o s,s i n{ btataT ???切向量證：.0,|||| 2233 ???????????babeTeTOz????co s 的余弦軸夾角切線(xiàn)與.cos 軸成定角為常數(shù)，故知切線(xiàn)與由于 Oz?.,0),(22并求原方程的解將它化簡(jiǎn)為新方程利用變換滿(mǎn)足方程設(shè) ????????????????????yxyzxzyxzz9??????????????????????????????????????????????