【正文】 ???rzryrxrzyx 之間的變換公式與球坐標討論直角坐標 例4作業(yè) ： P157, 1, 2(2), 3(1), 6. 167。)2,1,1,2(,0000的鄰域內(nèi)連續(xù)在的鄰域內(nèi)連續(xù)在解：PGGxGyGvFuFFxFPGPFPGFvuyxvuyx??????????????? 2 1 ooo:!2!2!4)2,1,1,2( 240 個雅克比式處在 64 o ???CP.01144),(),(,61142),(),(000????????????? 0, PPvuvuPvxGFGGFFvuGF僅? .,)2,1,1,2(0變量的隱函數(shù)變量可以作為其余兩個任何兩個的隱函數(shù)外難以確定為附近除在 uyvxP求偏導數(shù)，得到關于的偏導數(shù)，則對方程組如果求xxyvuvuyxGyxvuvuyxFyxvvyxuu???????????????? ,01),(,0),(),(),(222。0(),( 0,),( ( i i ) ),( ( i ) 具有一階連續(xù)偏導數(shù)內(nèi)在初始條件內(nèi)連續(xù)為內(nèi)點的區(qū)域在以和若滿足下列條件隱函數(shù)組定理 )( 1 8 . 4 定理。0))(,()())(,(),)(),()(),0),()(00000000000內(nèi)連續(xù)在）且時當）使得函數(shù)隱內(nèi)的定義在某區(qū)間唯一地確定內(nèi)，方程的某鄰域則在點???????????????????xxxfxfxFPUxfxxxxyxfxfyxxyxFDPUP( 2 , ( 1(.],[),(],[.0),(,],[],[,.0),(,.0000000000且連續(xù)上嚴格增在關于故使其上每點局部保號由不妨由）存在唯一性證：???????????????????????yyyyxFxxxyxFDyyxxFyxFyyy ( i i i ) , ( i v ) 1 A???????B A’ +++++++B’ P0 .0),(,0),(,),((,],[),(),(.0),(,0),(000000000000?????????????????????????????yxFyxFxxxxxyxFyxFyxFyxF ],0, ( i ) , ( i i ) ,時使當性由連續(xù)函數(shù)的局部保號上連續(xù)在和由由).()(),(0),(.0),(),( ),(,0,0000000xfyxxyxFyxFyyyxxxFBAFABABAB???????????????????函數(shù)隱內(nèi)的間唯一地確定了定義在區(qū)即方程使唯一因此上邊上的如圖，在矩形??????A???????B A’ +++++++B’ P0 .0))(,()())(,( ,),( ,)(),(),()(0000000000????????????xfxFPUxfxxxxyxfyyxxPU且時當則令??????).(),)( 00 略內(nèi)連續(xù)在） ?? ?? xxxf ( 2? ? .0)(,),(0,022),(???????xxFxyxxyyxF yx?? 滿足內(nèi)確定唯一一個隱函數(shù)的某鄰域在驗證二元方程：練習? ? .0)(,),(0???xxFxyx?? 滿足確定唯一一個隱函數(shù)的某鄰域內(nèi)定理的條件，所以，在滿足隱函數(shù)存在唯一性 .02ln)0,0()0,0(2ln2),()0,0()0,0(22),(?????????yyyyxFxyxFFxyyxF）的鄰域內(nèi)連續(xù)，在），）的鄰域內(nèi)連續(xù)，在）因為，解：4 3 02 1 ( i v ) . ( i i i ) ,i) , 1 8 . 1 但不滿足處滿足在點例如的條件僅僅是充分條件定理：()0,0(,)()()(,.12222233yxyxx , yFxyx , yF??????注意 . ( i v) ,iii)18. 1 嚴格單調(diào)的某鄰域內(nèi)關于在可減弱為和的條件定理 yPF 0(.2).(,0),(,),((.3 00ygxyxFyxF xx??函數(shù)結(jié)論是存在唯一的連續(xù)連續(xù)改為和的條件定理 ( i v )i i i )18 . 1 .),(),()( ),()()1( ),(( i v ) ,( i )1 8 . 1),( )(00yxFyxFxfxxxfyyxFDyxFyxx??????導函數(shù)，且內(nèi)有連續(xù)在其定義域所確定的隱函數(shù)則由方程內(nèi)存在連續(xù)偏導數(shù)又設在條件的滿足定理設函數(shù)隱函數(shù)可微性定理?? 1 定理.0),())(,( ),()(),( ),(, 0000????????????????????yyxxFxfxFyyxxfyyxfyxxxxx且則設證：????,y)yy,xx(Fx)yy,xx(F)y,x(F)yy,xx(Fyx ?????????????????????? 0 故,),( ),( yyxxF yyxxFxyyx???????????????? .),),( ),(lim)( 000內(nèi)連續(xù)且在 ?? ??????????xxyxF yxFxyxfyxx( 例 1. 驗證方程 在點 (0,0)某鄰域 可 確定一個 單值可導隱函數(shù) 0dd,0dd22?? xxyxxy解 : 令 ,1s in),( ???? yxeyyxF x則 并求 ,F,0)0,0( ?F,yeF xx ?? 連續(xù) , 由 定理可知 , 1)0,0( ?yF 0?導的隱函數(shù) xyF y ?? c o s在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可 且 0dd?xxy0??? xFFyx ?? xy ?c o sye x ?0,0 ?? yx0dd22?xxy)c o s(dd xy yexx????2)c o s( xy ???3?? 100?????yyx)( ye x ?? )( c o s xy ? )( ye x ? )1s in( ???? yy0?? xy30dd22???xxy)(,01s in xyyyxey x ?????兩邊對 x 求導 兩邊再對 x 求導 yyyy ??????? c o s)(s in 2令 x = 0 , 注意此時 1,0 ???? yy)0,0(c o s xyye x????導數(shù)的另一求法 — 利用隱函數(shù)求導 ).(),(0,022),(xxyxxyyxF yx?? ???????并求連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)鄰域內(nèi)確定唯一一個有的某在驗證二元方程： 練習.2ln2 2ln2)( yxxyx??????答：.注：導數(shù)有兩種求法連續(xù)可微性定理元隱函數(shù)的存在唯一與并有下列元隱函數(shù)的概念所確定的類似地理解由方程nnyxxF n .0),( 1 ??., , )(),( 2),( ,)),(,( ),()),(,( ,)(),( 1),(),()(),(),()(yxxyxxxxnnnnnnnnnnnFFfFFfffQUxxfyxxfyxxfxxFPUxxfxxQUxxxxfynRQUxxQyxxFDPUPnnn?????????????????????????111010010110110110001010000而且內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù)在）且時）當使得隱函數(shù)元連續(xù)函數(shù)內(nèi)的的某鄰域一個定義在唯一地確定了內(nèi)，方程的某鄰域則在點,),( ( i v ), ( i i i ),),( ( i i ),),(),( ( i ) : 000001000110001011????yxxFDFFFyxxFRDyxxPyxxFnyyxxnnnnn?????內(nèi)存在且連續(xù)在偏導數(shù)上連續(xù)為內(nèi)點的區(qū)域在以若滿足下列條件 1 8 . 3 定理例 2. 設 ,04222 ???? zzyx解法 1 利用隱函數(shù)求導 0422 ??????? xzxzzx zxxz ???? 2?2 04 22????xz2)(1xz???.22xz??求再對 x 求導 解法 2 利用公式 設 zzyxzyxF 4),( 222 ????則 ,2 xF x ?zxFFxz ?????兩邊對 x 求偏導 )2(22zxxxz??????322)2()2(zxz????2??? zxzx?? 242 ?? zF z.求法注：隱函數(shù)高階導數(shù)的作業(yè) ： P151, 1,2 , 3(2)(5), 5. 四、隱函數(shù)問題舉例 (自練 ) .0s i n21),( 確定的隱函數(shù)及其導數(shù)討論 ???? yxyyxF 例1.0333和二階導數(shù)所確定的隱函數(shù)的一階討論笛卡兒葉形線??? axyyx 例2.0),( 323元隱函數(shù)及其偏導數(shù)在原點附近所確定的二討論????? zyxxyzzyxF 例3.,)(,)( 000其導數(shù)討論反函數(shù)的存在性與且的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設函數(shù) yxfxxfy ?? 例4167。設的對應關系由數(shù)，其自變量與因變量不少情況下有另一種函??????????? .,0))(,(,),(IxxfxFJyIxxfy?????則成立恒等式若把它記作下面看隱函數(shù)的例子 . ).,1()1,(0),(.,),(1111 ??????????????????? xxFyyxyxyyxFxx , 1 從而即一個通過方程對應唯一二元方程例.011 1的單值交線與平面是空間曲面平面曲線幾何意義 ????? ? zyxyzy x :.0)1,(),(0)1,(),(,11,)1,1(,00.)1,1(.01),(2221222122??????????????????????????????xxFyxFxxFyxFxyxyyxyyyxyxyxF 2 或也就是或即