【正文】 ???rzryrxrzyx 之間的變換公式與球坐標討論直角坐標 例4作業(yè) ： P157, 1, 2(2), 3(1), 6. 167。)2,1,1,2(,0000的鄰域內連續(xù)在的鄰域內連續(xù)在解：PGGxGyGvFuFFxFPGPFPGFvuyxvuyx??????????????? 2 1 ooo:!2!2!4)2,1,1,2( 240 個雅克比式處在 64 o ???CP.01144),(),(,61142),(),(000????????????? 0, PPvuvuPvxGFGGFFvuGF僅? .,)2,1,1,2(0變量的隱函數變量可以作為其余兩個任何兩個的隱函數外難以確定為附近除在 uyvxP求偏導數，得到關于的偏導數，則對方程組如果求xxyvuvuyxGyxvuvuyxFyxvvyxuu???????????????? ,01),(,0),(),(),(222。0(),( 0,),( ( i i ) ),( ( i ) 具有一階連續(xù)偏導數內在初始條件內連續(xù)為內點的區(qū)域在以和若滿足下列條件隱函數組定理 )( 1 8 . 4 定理。0))(,()())(,(),)(),()(),0),()(00000000000內連續(xù)在）且時當）使得函數隱內的定義在某區(qū)間唯一地確定內，方程的某鄰域則在點???????????????????xxxfxfxFPUxfxxxxyxfxfyxxyxFDPUP( 2 , ( 1(.],[),(],[.0),(,],[],[,.0),(,.0000000000且連續(xù)上嚴格增在關于故使其上每點局部保號由不妨由）存在唯一性證：???????????????????????yyyyxFxxxyxFDyyxxFyxFyyy ( i i i ) , ( i v ) 1 A???????B A’ +++++++B’ P0 .0),(,0),(,),((,],[),(),(.0),(,0),(000000000000?????????????????????????????yxFyxFxxxxxyxFyxFyxFyxF ],0, ( i ) , ( i i ) ,時使當性由連續(xù)函數的局部保號上連續(xù)在和由由).()(),(0),(.0),(),( ),(,0,0000000xfyxxyxFyxFyyyxxxFBAFABABAB???????????????????函數隱內的間唯一地確定了定義在區(qū)即方程使唯一因此上邊上的如圖，在矩形??????A???????B A’ +++++++B’ P0 .0))(,()())(,( ,),( ,)(),(),()(0000000000????????????xfxFPUxfxxxxyxfyyxxPU且時當則令??????).(),)( 00 略內連續(xù)在） ?? ?? xxxf ( 2? ? .0)(,),(0,022),(???????xxFxyxxyyxF yx?? 滿足內確定唯一一個隱函數的某鄰域在驗證二元方程：練習? ? .0)(,),(0???xxFxyx?? 滿足確定唯一一個隱函數的某鄰域內定理的條件，所以，在滿足隱函數存在唯一性 .02ln)0,0()0,0(2ln2),()0,0()0,0(22),(?????????yyyyxFxyxFFxyyxF）的鄰域內連續(xù)，在），）的鄰域內連續(xù)，在）因為，解：4 3 02 1 ( i v ) . ( i i i ) ,i) , 1 8 . 1 但不滿足處滿足在點例如的條件僅僅是充分條件定理：()0,0(,)()()(,.12222233yxyxx , yFxyx , yF??????注意 . ( i v) ,iii)18. 1 嚴格單調的某鄰域內關于在可減弱為和的條件定理 yPF 0(.2).(,0),(,),((.3 00ygxyxFyxF xx??函數結論是存在唯一的連續(xù)連續(xù)改為和的條件定理 ( i v )i i i )18 . 1 .),(),()( ),()()1( ),(( i v ) ,( i )1 8 . 1),( )(00yxFyxFxfxxxfyyxFDyxFyxx??????導函數，且內有連續(xù)在其定義域所確定的隱函數則由方程內存在連續(xù)偏導數又設在條件的滿足定理設函數隱函數可微性定理?? 1 定理.0),())(,( ),()(),( ),(, 0000????????????????????yyxxFxfxFyyxxfyyxfyxxxxx且則設證：????,y)yy,xx(Fx)yy,xx(F)y,x(F)yy,xx(Fyx ?????????????????????? 0 故,),( ),( yyxxF yyxxFxyyx???????????????? .),),( ),(lim)( 000內連續(xù)且在 ?? ??????????xxyxF yxFxyxfyxx( 例 1. 驗證方程 在點 (0,0)某鄰域 可 確定一個 單值可導隱函數 0dd,0dd22?? xxyxxy解 : 令 ,1s in),( ???? yxeyyxF x則 并求 ,F,0)0,0( ?F,yeF xx ?? 連續(xù) , 由 定理可知 , 1)0,0( ?yF 0?導的隱函數 xyF y ?? c o s在 x = 0 的某鄰域內方程存在單值可 且 0dd?xxy0??? xFFyx ?? xy ?c o sye x ?0,0 ?? yx0dd22?xxy)c o s(dd xy yexx????2)c o s( xy ???3?? 100?????yyx)( ye x ?? )( c o s xy ? )( ye x ? )1s in( ???? yy0?? xy30dd22???xxy)(,01s in xyyyxey x ?????兩邊對 x 求導 兩邊再對 x 求導 yyyy ??????? c o s)(s in 2令 x = 0 , 注意此時 1,0 ???? yy)0,0(c o s xyye x????導數的另一求法 — 利用隱函數求導 ).(),(0,022),(xxyxxyyxF yx?? ???????并求連續(xù)導數的隱函數鄰域內確定唯一一個有的某在驗證二元方程： 練習.2ln2 2ln2)( yxxyx??????答：.注：導數有兩種求法連續(xù)可微性定理元隱函數的存在唯一與并有下列元隱函數的概念所確定的類似地理解由方程nnyxxF n .0),( 1 ??., , )(),( 2),( ,)),(,( ),()),(,( ,)(),( 1),(),()(),(),()(yxxyxxxxnnnnnnnnnnnFFfFFfffQUxxfyxxfyxxfxxFPUxxfxxQUxxxxfynRQUxxQyxxFDPUPnnn?????????????????????????111010010110110110001010000而且內有連續(xù)偏導數在）且時）當使得隱函數元連續(xù)函數內的的某鄰域一個定義在唯一地確定了內，方程的某鄰域則在點,),( ( i v ), ( i i i ),),( ( i i ),),(),( ( i ) : 000001000110001011????yxxFDFFFyxxFRDyxxPyxxFnyyxxnnnnn?????內存在且連續(xù)在偏導數上連續(xù)為內點的區(qū)域在以若滿足下列條件 1 8 . 3 定理例 2. 設 ,04222 ???? zzyx解法 1 利用隱函數求導 0422 ??????? xzxzzx zxxz ???? 2?2 04 22????xz2)(1xz???.22xz??求再對 x 求導 解法 2 利用公式 設 zzyxzyxF 4),( 222 ????則 ,2 xF x ?zxFFxz ?????兩邊對 x 求偏導 )2(22zxxxz??????322)2()2(zxz????2??? zxzx?? 242 ?? zF z.求法注：隱函數高階導數的作業(yè) ： P151, 1,2 , 3(2)(5), 5. 四、隱函數問題舉例 (自練 ) .0s i n21),( 確定的隱函數及其導數討論 ???? yxyyxF 例1.0333和二階導數所確定的隱函數的一階討論笛卡兒葉形線??? axyyx 例2.0),( 323元隱函數及其偏導數在原點附近所確定的二討論????? zyxxyzzyxF 例3.,)(,)( 000其導數討論反函數的存在性與且的某鄰域內連續(xù)在設函數 yxfxxfy ?? 例4167。設的對應關系由數，其自變量與因變量不少情況下有另一種函??????????? .,0))(,(,),(IxxfxFJyIxxfy?????則成立恒等式若把它記作下面看隱函數的例子 . ).,1()1,(0),(.,),(1111 ??????????????????? xxFyyxyxyyxFxx , 1 從而即一個通過方程對應唯一二元方程例.011 1的單值交線與平面是空間曲面平面曲線幾何意義 ????? ? zyxyzy x :.0)1,(),(0)1,(),(,11,)1,1(,00.)1,1(.01),(2221222122??????????????????????????????xxFyxFxxFyxFxyxyyxyyyxyxyxF 2 或也就是或即