【正文】 zzyxf,111)0,0,0(1111),(31?????????????????例3.3),1111(),( rzyxrzyxxyzzyxL ???????? 求得穩(wěn)定點解： ?? .)3,3(),(),(),(1111 取極小值是否在考察確定 rryxxy zyxFyxzzrzyx ?????.,0)3,3(,0])([ )3,3(2 最小極小???? rrFFFF xxrrxyyyxx??.,)3(,111,)3( 313 得證則取故 rabccbarczbyaxrxy z ??????? ??????? ?小結(jié) ： ? 條件極值的概念； ? 拉格朗日乘數(shù)法的推導和理論； ? 拉格朗日乘數(shù)法的應用 (解決條件極值問題 ): 極值、最值、不等式 , ? 典型例題。1,1,1(),(( * ))1(.03),(,),(22232xxfzxyyfyxzzx yzzyxzyxzxyzyxf并求確定隱函數(shù)問在何條件下能由并求確定隱函數(shù)問在何條件下能由滿足且點設 ( * ) ???????5 .][ ),(( * ),0323)1(: 222yxzzxyzxyzzyx z???????? 確定隱函數(shù)能由時當解.231)1,1,1(,3,32 32 2232 ??????????? xxxx fzzxyzyfxyz yzxz .][ ),(( * ),0323)2( 222zxyyxzyxy zzyx y???????? 確定隱函數(shù)能由時當.121)1,1,1(,2,32 32 332 ??????????? xxxx fyxyzzyfxzy yzxy.)12,4,3(,169222 程的切平面方程和法線方在點求 ??? zyx6{ 6 , 8 , 2 4 } , ?? )12,4,3(}2,2,2{ zyxn?解：.,:。1)0()(:)2()2()11()(122????????ybyaxxyyyx1 . , 1:的單值函數(shù)都是滿足時當時且當例如無限個解)1(),2,1(,1,11,1)(.1212????????????????nxxxxxxynnn) . : 2) 時當時當兩個 11,1,11,1 22 ??????????? xxyxxy . ( a ) 3) 兩個與一個 222 11)(,1 xyxybxy ??????? .( )11)()( 22222???????xxyyyyxyx和單值連續(xù)的各枝的各個枝點所確定的多值函數(shù)求由方程2.cos22 ??r.s g n,s g n,1,1)(),112)21(18)(211811.218)21()(222222222222xxxxxxxyxxxxxyyxyx??????????????????????????其中，故單值連續(xù)的各枝為時因當?shù)媒猓河? (, ? ?( 1 , 0 ) .( 1 , 0 )( 0 , 0 ) , 及經(jīng)過驗證得枝點為從而解之得下面求各個枝點：,1,0,0,022)(2)(2222222????????????xyyyyxyxyxy ., yxzyzxzyxzzFzyyxF???????????2),(,0),(并求隱函數(shù)問在何處存在具有連續(xù)的二階偏導數(shù)且設3).,(00)1( 22 yxzzFFF z ????????? 時，存在隱函數(shù)即當解 :.10)1()1(。2)3()1()。 ? , 其表面積最小高各為多少時試問水箱的長寬的長方形開口水箱要設計一個容量為,: V例如.)(2),(,xyyzxzzyxSzyx??? 則其表面積為設水箱的長寬高分別為.),0,0,0(Vxyzzyx???? 滿足條件而且還須義域的要求其自變量不僅要符合定).(),(0),(0),(: 21的最小值上點的距離到即點的距離到曲線外定點試求曲線的交線與是兩個曲面空間曲線CPCcbaPCzyxFzyxFC , ??如再. 的最小值要求距離函數(shù)上任意點為空間曲線設：222 )()()(),(,),(czbyaxzyxdCzyxM??????問題實質(zhì).,0),(,0),()(,21的限制函數(shù)方程組受到條件其中?????zyxFzyxFzyx 這種附有約束條件的極值問題稱為 條件極值問題 ，不帶約束條件的極值問題稱為 無條件極值問題 。 推導 (含義 ),公式、運用。)1,1,0,1(,000000002222的鄰域內(nèi)連續(xù)在鄰域內(nèi)連續(xù)在解：vuyxPvGuGxGyGuFvFyFxFPGPFPvuxyGuvyxFvuyxvuyx??????????????????? 2 1 ooo；0 4 o ???? ?????? 422 11),( ),(00 PvuvuP GGFFvuGF).,(),()0,1(yxvvyxuu ??導數(shù)的隱函數(shù)組鄰域存在唯一有連續(xù)偏故在點.)(2 4),( ),(1,)(2 4),( ),(1 2222 vu yvxuxu GFJvvu yuxvvx GFJu xx ??????????????. vuvuvxvxxGGFFGGFFu ??例 2. 設 ,1,0 ???? vxuyvyux ., yvxvyuxu ????????解 : xyyxJ ??Jxu 1???22 yxvxuyyu??????方程組兩邊對 x 求導，并移項得 求 vxvxxuy ???????xvyu???22 yxvyux????Jxv 1???22 yxuyvx????練習 : 求 yvyu ???? ,uxvyxux ???????022 ??? yx22 yxvyuxyv??????答案 : 由題設 故有 三、反函數(shù)組與坐標變換 ( 9 ) ( 9 ) .( 9 ) , .),().,(),(,:.),(),(,),()9(),(),(2222BPPTQvuQyxPRBTTRBRvuQuvByxPRBxyyxvvyxuu????????或?qū)懗牲c函數(shù)形式也寫作這時映射記作的一個到確定了稱方程組我們與之對應平面上唯一的一點有由方程組對每一點上的兩個函數(shù)平面點集是定義在設函數(shù)組?變換映射 .( 9 ) , .),(.,:,),(,111BTPPQBBTTTBPBQT???????????或即記作的射由此產(chǎn)生的新映射稱映與之對應確定一點都唯一由方程組這時每一點是一一映射若反過來?逆變換逆映射 .( 9 )( 1 0 )( 1 1 ) ( 9 )( 1 0 ) 反函數(shù)組的是函數(shù)組這時我們又稱函數(shù)組成為恒等式把它代入上的函數(shù)組亦即存在定義在)).,(),(()),(),((:),(),(vuyvuxvvvuyvuxuuvuyyvuxxB?????).(.,),(),(BTBTBQPyxPTvuQ??為的下在映射記的為的下為映射稱象集原象象 .( 9 ) , .),(.,:,),(,111BTPPQBBTTTBPBQT???????????或即記作的射由此產(chǎn)生的新映射稱映與之對應確定一點都唯一由方程組這時每一點是一一映射若反過來?逆變換逆映射就有用應用于并并將定理改寫為需將只的特殊情形是隱函數(shù)組存在性問題反函數(shù)組的存在性問題 1 8 . 4 ( 9 ) ),12()12(.0),(),(,0),(),(.?????????yxvvvuyxGyxuuvuyxF,0),(),(,)9(00000000002??????PyxvuyxvvyxuuDyxPRD ),( ),( ),( 且的內(nèi)點為點上連續(xù)區(qū)域及其一階偏導數(shù)在某設函數(shù)組反函數(shù)組定理 )( 1 8 . 5 定理) ) .,(),(() ) ,(),((),()),(),((,)(),(),((),10()(),000000000000vuyvuxvvvuyvuxuuPUvuyvuxPUvuvuyyvuxxPUvuP????????? :( 1 1 ) ), (以及恒等式有時且當使得數(shù)內(nèi)存在唯一的一組反函的某鄰域則在點( 1 5 ) .),(),(,),(),(,),(),(,),(),(,)(, 0yxvuxuvyyxvuxvuyyxvuyuvxyxvuyvuxPU??????????????????????????????? 且內(nèi)存在一階連續(xù)偏導數(shù)反函數(shù)組在此外.1),( ),(),( ),( ?????? vu yxyx vu :( 1 3 ) 看到由..s i n,c o s),(),(所確定的反函數(shù)組之間的變換與極坐標的直角坐標討論平面上點???ryrxryxP?? 例3.),(),(),(),(),(坐標變換坐標與曲面坐標之間的它們是三維空間中直角數(shù)組為的條件下所確定的反函在相應于定理對于函數(shù)組),( 1 8 . 5 x , y , zwwzyxvvzyxuuwvuzzwvuyywvuxx??????????????.c o s,s i ns i n,c o ss i n),(),(????