函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 是同號的。x=5x4+4x36x24x+1=(x1)x+12(5x1)，令f39。39。39。fx=e2x20 x≠0 x=0 ，很顯然，我們可以看到函數(shù)fx在x=0的處任意階倒數(shù)都等于0，所以不能用判定極值的充分條件。我們畫出二次函數(shù)的圖像就知道，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，開口方向向上（或向下），因此它只有一個頂點(diǎn)，這些不難從圖上看出。（1）配方法： 對于二次函數(shù)fx=ax2+bx+c (a≠0)，我們經(jīng)配方的變形后變?yōu)椋? fx=ax+b2a2+4acb24a當(dāng)a0時，函數(shù)有極大值,fxmax=fb2a=4acb24a當(dāng)a0時，函數(shù)有極小值，fxmin=fb2a=4acb24a.（2）判別式法： 因?yàn)槎魏瘮?shù)的極值只有一個，我們把函數(shù)式子變形之后再求二次函數(shù)的極值還可以發(fā)現(xiàn)用判別式法：fx=ax2+bx+c (a≠0)的極值，我們可以把方程y=ax2+bx+c (a≠0)改寫為：ax2+bx+（cy）=0 (a≠0)顯然這是關(guān)于x的一元二次方程。了解了一元二次函數(shù)的極值的求法后，我們遇到的很多一元函數(shù)都可以利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為與一元二次函數(shù)有關(guān)問題來求解。當(dāng)sinx=1，f(x)min=4分析：本題我們把本屬于求三角函數(shù)的最值問題經(jīng)過恒等變形轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題，顯然變得一目了然了。的極值。yx+cyc39。ycyc39。例3 求函數(shù)y=x24x22x3的極值。如圖： 例4求函數(shù)y=x24x2+2x+3 的最值.解：=0 .若方程有實(shí)數(shù)解，則?=4y241y3y4=5y228y+16≥0,解得72695≤y≤7+.=mx+nax2+bx+c 的極值.首先，我們要注意此類函數(shù)的定義域，即ax2+bx+c≥0。解： 函數(shù)的定義域?yàn)椤蓿?U1，+∞.將y=x+x2+3x+2 移項(xiàng)后再平方得：3+2yx=y22這是關(guān)于x的一次方程，因此不能用判別式求解。則關(guān)于x的一元二次方程（1）的判別式?=2y202128y2≥0解得：y≤3,y≥5172時，函數(shù)有最大值3；當(dāng)y5+172時，函數(shù)有最小值2.第三章 多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)可以說是一元函數(shù)的推廣，它和與一元函數(shù)有很多類似的地方，也保留了很多一元函數(shù)所具備的性質(zhì)。這里我們先從二元函數(shù)開始，n元函數(shù)我們可以類似的推廣。二元函數(shù)（一般地說多元函數(shù)）在給定區(qū)域上的最大值或最小值可以在該區(qū)域的某一內(nèi)點(diǎn)上達(dá)到，也可以在邊界點(diǎn)達(dá)到。這些都與一元函數(shù)有類似之處，那么多元函數(shù)的極值問題會不會也有相似之處呢？下面我們一起來看看如何來求函數(shù)的極值的？ 無條件極值 與一元函數(shù)一樣，我們先來看多元函數(shù)極值的必要條件。那么多元函數(shù)呢？我們就一起來探討吧！ 如果用微分法求函數(shù)的極值，我們要先先求出函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，那么我們求出函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)一定是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)嗎？答案是不一定。，若二元函數(shù)f在點(diǎn)P0x0,y0的某鄰域UP0上具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且P0是f的穩(wěn)定點(diǎn)。所以函數(shù)fx,y在點(diǎn)P0處取得極小值, 極小值fmin0,1=4. 解法二：fx,y=x2+xy+y2x2y+5=x2+y1x+y22y+5=x+y122+34y12+4，所以當(dāng)x+y12=0且y1=0時，即x=0,y=1時，函數(shù)fx,y有最小值是4.分析：此題是典型的二元函數(shù)的求極值的問題，我們給出的兩種解法，很顯然。例3求函數(shù)fx,y=e3xx+4y2極值。 條件極值在前面我們求函數(shù)的極值，都是在函數(shù)的定義域內(nèi)來求的，限制條件也只有定義域。我們先從一個常規(guī)的例子入手。那么還有沒有更為簡單的方法呢？這里我們引用教材中的一種不需要依賴消元法就可以求出條件極值的方法：拉格朗日乘數(shù)法：設(shè)f,φ都為簡單的二元函數(shù)，欲求函數(shù)zx,y=fx,y的極值，其中x,y受條件φx,y=0 的限制。若D的內(nèi)點(diǎn)P0x10,?,xn0 上述的極值點(diǎn)，且雅可比矩陣：?φ1?x1??φ1?xn????n?x1??m?n的秩為m，則存在m個常數(shù)λ10,?,λn0，使得x10,?,xn0，λ10,?,λn0為拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，即x10,?,xn0，λ10,?,λn0為 n+m 個方程：Lx1=?f?x1+k=1mλk?φk?x1????Lxn=?f?xn+k=1mλk?φk?nLλ1=φ1x1,x2,?,xn=0????Lλm=φmx1,x2,?,xn=0的解。解法一：z=y22x2=2x22x2=x24x+4=x+22+8所以z≤22,當(dāng)x=2，函數(shù)有極大值22，將x=2帶入x+y=2 得y=4.解法二： 求函數(shù)zx,y=y22x2 條件x+y=2 的極值。解： 作拉格朗日函數(shù)如下：Lx,y,z,λ,μ=xyx+λx2++y2+z21+μx+y+z ，求L的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0得：Lx=yz+2λz+μ=0Ly=zx+2λy+μ=0Lz=xy+2λz+μ=0Lλ=x2++y2+z21=0Lμ=x+y+z=0由前三式消μ得：zyx+2λxy=0xyz+2λzy=0 ，在消去λ得：xyyzzx=0 所以求得x=y ，或x=z 或z=y .將x=y帶入條件函數(shù)解得x0+y0+z0=177。由于函數(shù)f在有界閉集x2++y2+z2=1, x+y+z=0 上必有最值。已知輪船運(yùn)費(fèi)的價格是α元/km ，火車運(yùn)費(fèi)的價格是β元/km β，修建鐵路MB，使得點(diǎn)A到點(diǎn)M再到點(diǎn)B的總運(yùn)費(fèi)最省。x=2x2a2+x2α,令f39。即MC=aαβ2α2km時，用費(fèi)最省。其導(dǎo)數(shù)為：I39。解法一： 設(shè)Ax,y 是內(nèi)接矩形ABCD在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)。此時y=baa222a2=22b ,則Smax=4xy=422a22b=2ab.解法二：由上S=4xy 又1=x2a2+y2b2≥2x2a2?y2b2=2abxy .（當(dāng)且僅當(dāng)x2a2=y2b2 取等號）所以xy≤2ab ,即S≤2ab ,Smax=,y 的值。=0 得：x=177。解：，我們分別設(shè)AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，∠ABC=x,∠CDA=y .則可以得到四邊形的面積（可是為目標(biāo)函數(shù)）為： S=12absinx+12cdsiny,0xπ,0yπ又因?yàn)?ABC,?CDA有共同的一條邊AC，所以由余弦定理得到：a2+b22abcosx=c2+d22cdcosy由此本題轉(zhuǎn)化為在條件a2+b22abcosx=c2+d22cdcosy的限制下求目標(biāo)函數(shù)S=12absinx+：首先我們做拉格朗日函數(shù)：L=12absinx+12cdsiny+λa2+b22abcosxc2+d22cdcosy對L求偏導(dǎo)數(shù)在令其等于0得：Lx=12abcosx+2λabsinx=0Ly=12cdcosy2λcdsiny=0Lλ=a2+b22abcosxc2+d22cdcosy=0解得tanx+tany=14λ+14λ=xπ,0yπ 下必有x+y=π，即四邊形ABCD對角互補(bǔ)，和圓的內(nèi)接四邊形一樣，而此時有S有最大值。因此不同方法都要學(xué)會并深度理解定理之后才會獲得，才會有更多的想法和思路。 在求函數(shù)極值的過程中，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和微積分相關(guān)知識比較多，因此搞清楚這兩部分知識點(diǎn)在去解決應(yīng)該就很簡單了。在這里感謝羅家貴教授給予了我耐心、細(xì)致和全面的幫
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