【正文】 解：設(shè)MC=xkm ，這我們假設(shè)AC=dkm則BM=a2+x2km,所以總運(yùn)費(fèi)fx=βa2+x2+αdx求出導(dǎo)數(shù)得f39。x=2x2a2+x2α,令f39。x=0得到：x=177。aαβ2α2 .由題意知負(fù)值不合題意。所以當(dāng)x=aαβ2α2時(shí)，函數(shù)fx有極值。即MC=aαβ2α2km時(shí)，用費(fèi)最省。所以點(diǎn)M該建在距離點(diǎn)Caαβ2α2km處。例2 我們都熟悉在很多城市中的大廣場(chǎng)上，都有很高的燈柱，這個(gè)燈柱很高，也很亮。那么用我們數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看待的話就轉(zhuǎn)化為在半徑為R的圓形廣場(chǎng)中央0，豎立一頂端P裝有弧光燈的燈柱0P，經(jīng)研究已知底面上某點(diǎn)Q處的照度I與光線的投射角（PQ與底面在Q點(diǎn)處法線的夾角，它等于角OPQ，）的余弦成正比，與該出到光源的距離平方成正比，為使廣場(chǎng)邊緣的圓形道路有最大的照度，燈柱的高度應(yīng)為多高合適？ 解：我們?cè)O(shè)燈柱高為h,則燈到廣場(chǎng)邊緣的距離為： l=R2+h2由題意我們?nèi)菀椎玫焦饩€的投射角α=：I=kcosαPQ2=khR2+h232觀察這個(gè)等式我們結(jié)合題意我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是以I為目標(biāo)函數(shù)，h為自變量（其中k是與光源強(qiáng)度有關(guān)的正的常數(shù)），它是定義域?yàn)?，+∞的可導(dǎo)函數(shù)。其導(dǎo)數(shù)為：I39。=kR22h2R2+h252令I(lǐng)39。=0得，目標(biāo)函數(shù)有唯一穩(wěn)定點(diǎn)h=R2.因?yàn)橹挥形ㄒ环€(wěn)定點(diǎn)，根據(jù)題意，可知I的最大值存在，故燈柱的高度應(yīng)取R2.二、 函數(shù)極值在解析幾何中的應(yīng)用 例3 求橢圓x2a2+y2b2=1 的內(nèi)接矩形的面積最大值。分析：首先我們來(lái)猜想一下，要使內(nèi)接的矩形面積最大，那么會(huì)不會(huì)是正方形呢？會(huì)不會(huì)與坐標(biāo)軸存在一定的關(guān)系呢？ 事實(shí)證明橢圓內(nèi)接矩形都與坐標(biāo)軸平行，不平行的矩形是不存在的。解法一： 設(shè)Ax,y 是內(nèi)接矩形ABCD在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)。則矩形的長(zhǎng)為2x，寬為2y，面積S=4xy .又y=baa2x2 ,所以S=4x?baa2x2=4bax2a2x2 ,又x20,a2x20, 且x2+a2x2=a2是定值。所以當(dāng)x2=a2x2 ，即x=22a 時(shí)。S最大。此時(shí)y=baa222a2=22b ,則Smax=4xy=422a22b=2ab.解法二：由上S=4xy 又1=x2a2+y2b2≥2x2a2?y2b2=2abxy .（當(dāng)且僅當(dāng)x2a2=y2b2 取等號(hào)）所以xy≤2ab ,即S≤2ab ,Smax=,y 的值。解法三： 由上S=4xy，設(shè)橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為asinθ,bcosθ，0θπ2 ，則：S=4absinθcosθ=2absin2θ≤2ab (當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1 時(shí)取等號(hào)。故當(dāng)θ=π4，x=2a2,y=2b2 時(shí)，Smax=2ab.解法四：S=4ba?x?：S39。=4baa2x2x2a2x2=4ba?a22x2a2x2 ，令S39。=0 得：x=177。22a .又0xa ,故有穩(wěn)定點(diǎn)x=22a 。列表如下：x0,22a22a22a,aS39。+0S↗極大值2ab↘則當(dāng)x=22a ，y=22b 時(shí)，Smax=2ab .例4 若四邊形a,b,c,d為定值，證明該四邊形為圓內(nèi)接四邊形時(shí)，面積最大。解：，我們分別設(shè)AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，∠ABC=x,∠CDA=y .則可以得到四邊形的面積（可是為目標(biāo)函數(shù)）為： S=12absinx+12cdsiny,0xπ,0yπ又因?yàn)?ABC,?CDA有共同的一條邊AC，所以由余弦定理得到：a2+b22abcosx=c2+d22cdcosy由此本題轉(zhuǎn)化為在條件a2+b22abcosx=c2+d22cdcosy的限制下求目標(biāo)函數(shù)S=12absinx+：首先我們做拉格朗日函數(shù)：L=12absinx+12cdsiny+λa2+b22abcosxc2+d22cdcosy對(duì)L求偏導(dǎo)數(shù)在令其等于0得：Lx=12abcosx+2λabsinx=0Ly=12cdcosy2λcdsiny=0Lλ=a2+b22abcosxc2+d22cdcosy=0解得tanx+tany=14λ+14λ=xπ,0yπ 下必有x+y=π，即四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，和圓的內(nèi)接四邊形一樣，而此時(shí)有S有最大值。又y=πx,所以cosx=a2+b2c2d22ab+cd.sinx=siny=1a2+b2c2d22ab+cd2故Smax=12ab+cd1a2+b2c2d22ab+cd2=142a2b2+a2c2+b2d2+c2d2+8abcda4+b4+c4+d4分析：通過(guò)本題的解法我們熟悉到，在遇到有條件限制的幾何問(wèn)題求極值的時(shí)候，運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法顯得更為簡(jiǎn)便?？偨Y(jié) 本論文從教材和各種教輔資料以及多方面的參考書(shū)，從多方面總結(jié)出了函數(shù)極值的求法，在注重解決問(wèn)題的同時(shí)，更注重思維的多樣性，也就是運(yùn)用不同的方法解決同一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于開(kāi)拓視野起到點(diǎn)了一定的作用。我們求函數(shù)極值都是從書(shū)上給出的定理入手，這些定理告訴了我們?nèi)绾蝸?lái)求各類函數(shù)的極值問(wèn)題。因此不同方法都要學(xué)會(huì)并深度理解定理之后才會(huì)獲得，才會(huì)有更多的想法和思路。我知道每一個(gè)問(wèn)題的解決辦法有很多，肯定有很多方法我是沒(méi)想到的，因此每一個(gè)問(wèn)題的解決辦法并不只有我們常熟悉的幾種，更多的辦法需要我們用心去發(fā)現(xiàn)。 在利用求函數(shù)極值的方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，還會(huì)遇到各種不一樣的問(wèn)題。牽涉到實(shí)際問(wèn)題，都需要我們建立數(shù)學(xué)模型，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，還有就是實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)都不是我們預(yù)想的那樣好處理，因此如何取得更為有效且更為簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)也是個(gè)難題。 在求函數(shù)極值的過(guò)程中，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和微積分相關(guān)知識(shí)比較多，因此搞清楚這兩部分知識(shí)點(diǎn)在去解決應(yīng)該就很簡(jiǎn)單了。 參考文獻(xiàn)：[1] 陳傳理， . [G].，198401 .[2] . [G].，198407 .[3] 吳茲潛，. [O].，198006.[4] .[O].，200604.[5] 龐學(xué)誠(chéng)，（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編）. [M]，201007.[6] 趙鳳石，時(shí)承權(quán)編. 函數(shù)極值解題法. [G]. 哈爾濱：黑龍江人民出版社, .{7} 章志敏，張素亮編著. 函數(shù). [O]. 北京：科學(xué)出版社, .[8] 鄭蒼松,鄭錦龍,馬瑞丹,王珊珊,[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016,(第13期).[9] [J].山西青年,2016,(第5期).[10] [J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2016,(第1期).[11] 谷學(xué)勤編著. 求函數(shù)最值（極值）的方法. [O] 合肥：安徽大學(xué)出版社, .致謝 歷經(jīng)了幾個(gè)月的時(shí)間，在羅家貴教授和同學(xué)們的幫助下，我終于完成了此論文的寫(xiě)作。在寫(xiě)論文的過(guò)程中，曾經(jīng)遇到過(guò)很多困難和障礙，都在羅教授的細(xì)心指導(dǎo)和同學(xué)們的幫助下我把困難一一克服了。在我畢業(yè)論文開(kāi)題、調(diào)查、研究和撰寫(xiě)過(guò)程中，羅家貴教授給我們擬定了論文計(jì)劃，給我們提供了很多有用的建議，這讓我在寫(xiě)論文時(shí)很受用。在這里感謝羅家貴教授給予了我耐心、細(xì)致和全面的幫助。感謝幫助我完成論文的同學(xué)們。 由于我的學(xué)術(shù)水平有限，我寫(xiě)的論文難免有不足之處，懇請(qǐng)老師和學(xué)友批評(píng)和指正。25