【正文】 解：設MC=xkm ，這我們假設AC=dkm則BM=a2+x2km,所以總運費fx=βa2+x2+αdx求出導數(shù)得f39。x=2x2a2+x2α,令f39。x=0得到：x=177。aαβ2α2 .由題意知負值不合題意。所以當x=aαβ2α2時，函數(shù)fx有極值。即MC=aαβ2α2km時，用費最省。所以點M該建在距離點Caαβ2α2km處。例2 我們都熟悉在很多城市中的大廣場上，都有很高的燈柱，這個燈柱很高，也很亮。那么用我們數(shù)學觀點看待的話就轉化為在半徑為R的圓形廣場中央0，豎立一頂端P裝有弧光燈的燈柱0P，經(jīng)研究已知底面上某點Q處的照度I與光線的投射角（PQ與底面在Q點處法線的夾角，它等于角OPQ，）的余弦成正比，與該出到光源的距離平方成正比，為使廣場邊緣的圓形道路有最大的照度，燈柱的高度應為多高合適？ 解：我們設燈柱高為h,則燈到廣場邊緣的距離為： l=R2+h2由題意我們容易得到光線的投射角α=：I=kcosαPQ2=khR2+h232觀察這個等式我們結合題意我們會發(fā)現(xiàn)，這是以I為目標函數(shù)，h為自變量（其中k是與光源強度有關的正的常數(shù)），它是定義域為0，+∞的可導函數(shù)。其導數(shù)為：I39。=kR22h2R2+h252令I39。=0得，目標函數(shù)有唯一穩(wěn)定點h=R2.因為只有唯一穩(wěn)定點，根據(jù)題意，可知I的最大值存在，故燈柱的高度應取R2.二、 函數(shù)極值在解析幾何中的應用 例3 求橢圓x2a2+y2b2=1 的內接矩形的面積最大值。分析：首先我們來猜想一下，要使內接的矩形面積最大，那么會不會是正方形呢？會不會與坐標軸存在一定的關系呢？ 事實證明橢圓內接矩形都與坐標軸平行，不平行的矩形是不存在的。解法一： 設Ax,y 是內接矩形ABCD在第一象限內的頂點。則矩形的長為2x，寬為2y，面積S=4xy .又y=baa2x2 ,所以S=4x?baa2x2=4bax2a2x2 ,又x20,a2x20, 且x2+a2x2=a2是定值。所以當x2=a2x2 ，即x=22a 時。S最大。此時y=baa222a2=22b ,則Smax=4xy=422a22b=2ab.解法二：由上S=4xy 又1=x2a2+y2b2≥2x2a2?y2b2=2abxy .（當且僅當x2a2=y2b2 取等號）所以xy≤2ab ,即S≤2ab ,Smax=,y 的值。解法三： 由上S=4xy，設橢圓上的第一象限內的點的坐標為asinθ,bcosθ，0θπ2 ，則：S=4absinθcosθ=2absin2θ≤2ab (當且僅當sin2θ=1 時取等號。故當θ=π4，x=2a2,y=2b2 時，Smax=2ab.解法四：S=4ba?x?：S39。=4baa2x2x2a2x2=4ba?a22x2a2x2 ，令S39。=0 得：x=177。22a .又0xa ,故有穩(wěn)定點x=22a 。列表如下：x0,22a22a22a,aS39。+0S↗極大值2ab↘則當x=22a ，y=22b 時，Smax=2ab .例4 若四邊形a,b,c,d為定值，證明該四邊形為圓內接四邊形時，面積最大。解：，我們分別設AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，∠ABC=x,∠CDA=y .則可以得到四邊形的面積（可是為目標函數(shù)）為： S=12absinx+12cdsiny,0xπ,0yπ又因為?ABC,?CDA有共同的一條邊AC，所以由余弦定理得到：a2+b22abcosx=c2+d22cdcosy由此本題轉化為在條件a2+b22abcosx=c2+d22cdcosy的限制下求目標函數(shù)S=12absinx+：首先我們做拉格朗日函數(shù)：L=12absinx+12cdsiny+λa2+b22abcosxc2+d22cdcosy對L求偏導數(shù)在令其等于0得：Lx=12abcosx+2λabsinx=0Ly=12cdcosy2λcdsiny=0Lλ=a2+b22abcosxc2+d22cdcosy=0解得tanx+tany=14λ+14λ=xπ,0yπ 下必有x+y=π，即四邊形ABCD對角互補，和圓的內接四邊形一樣，而此時有S有最大值。又y=πx,所以cosx=a2+b2c2d22ab+cd.sinx=siny=1a2+b2c2d22ab+cd2故Smax=12ab+cd1a2+b2c2d22ab+cd2=142a2b2+a2c2+b2d2+c2d2+8abcda4+b4+c4+d4分析：通過本題的解法我們熟悉到，在遇到有條件限制的幾何問題求極值的時候，運用拉格朗日乘數(shù)法顯得更為簡便?？偨Y 本論文從教材和各種教輔資料以及多方面的參考書，從多方面總結出了函數(shù)極值的求法，在注重解決問題的同時，更注重思維的多樣性，也就是運用不同的方法解決同一個問題，對于開拓視野起到點了一定的作用。我們求函數(shù)極值都是從書上給出的定理入手，這些定理告訴了我們如何來求各類函數(shù)的極值問題。因此不同方法都要學會并深度理解定理之后才會獲得，才會有更多的想法和思路。我知道每一個問題的解決辦法有很多，肯定有很多方法我是沒想到的，因此每一個問題的解決辦法并不只有我們常熟悉的幾種，更多的辦法需要我們用心去發(fā)現(xiàn)。 在利用求函數(shù)極值的方法解決實際問題時，還會遇到各種不一樣的問題。牽涉到實際問題，都需要我們建立數(shù)學模型，才能將實際問題轉化為數(shù)學問題，還有就是實際問題中的數(shù)據(jù)都不是我們預想的那樣好處理，因此如何取得更為有效且更為簡單的數(shù)據(jù)也是個難題。 在求函數(shù)極值的過程中，運用導數(shù)和微積分相關知識比較多，因此搞清楚這兩部分知識點在去解決應該就很簡單了。 參考文獻：[1] 陳傳理， . [G].，198401 .[2] . [G].，198407 .[3] 吳茲潛，. [O].，198006.[4] .[O].，200604.[5] 龐學誠，（華東師范大學數(shù)學系編）. [M]，201007.[6] 趙鳳石，時承權編. 函數(shù)極值解題法. [G]. 哈爾濱：黑龍江人民出版社, .{7} 章志敏，張素亮編著. 函數(shù). [O]. 北京：科學出版社, .[8] 鄭蒼松,鄭錦龍,馬瑞丹,王珊珊,[J].數(shù)學學習與研究,2016,(第13期).[9] [J].山西青年,2016,(第5期).[10] [J].長春工業(yè)大學學報,2016,(第1期).[11] 谷學勤編著. 求函數(shù)最值（極值）的方法. [O] 合肥：安徽大學出版社, .致謝 歷經(jīng)了幾個月的時間，在羅家貴教授和同學們的幫助下，我終于完成了此論文的寫作。在寫論文的過程中，曾經(jīng)遇到過很多困難和障礙，都在羅教授的細心指導和同學們的幫助下我把困難一一克服了。在我畢業(yè)論文開題、調查、研究和撰寫過程中，羅家貴教授給我們擬定了論文計劃，給我們提供了很多有用的建議，這讓我在寫論文時很受用。在這里感謝羅家貴教授給予了我耐心、細致和全面的幫助。感謝幫助我完成論文的同學們。 由于我的學術水平有限，我寫的論文難免有不足之處，懇請老師和學友批評和指正。25