【正文】 ),(),(000????????????? 0, PPvuvuPvxGFGGFFvuGF僅? .,)2,1,1,2(0變量的隱函數變量可以作為其余兩個任何兩個的隱函數外難以確定為附近除在 uyvxP求偏導數，得到關于的偏導數，則對方程組如果求xxyvuvuyxGyxvuvuyxFyxvvyxuu???????????????? ,01),(,0),(),(),(222。 推導 (含義 ),公式、運用。2)3()1()。1,1,1(),(( * ))1(.03),(,),(22232xxfzxyyfyxzzx yzzyxzyxzxyzyxf并求確定隱函數問在何條件下能由并求確定隱函數問在何條件下能由滿足且點設 ( * ) ???????5 .][ ),(( * ),0323)1(: 222yxzzxyzxyzzyx z???????? 確定隱函數能由時當解.231)1,1,1(,3,32 32 2232 ??????????? xxxx fzzxyzyfxyz yzxz .][ ),(( * ),0323)2( 222zxyyxzyxy zzyx y???????? 確定隱函數能由時當.121)1,1,1(,2,32 32 332 ??????????? xxxx fyxyzzyfxzy yzxy.)12,4,3(,169222 程的切平面方程和法線方在點求 ??? zyx6{ 6 , 8 , 2 4 } , ?? )12,4,3(}2,2,2{ zyxn?解：.,:。 (10)中的函數 L稱為 拉格朗日函數 ，輔助變量 λ 稱為 拉格朗日乘數 。 一、 平面曲線的切線與法線 例 :求 x2+y2=4在(2,2)處的切線 . .),(,0),(000 條件的某鄰域內滿足隱函數它在點給出設平面曲線由方程yxPyxF ( 1 ) ?)2(.0))(,())(,(),(),(),(:000000000000 ????????yyyxFxxyxFxxyxFyxFyyyxyx即則切線方程)3(,0))(,())(,(),(),(),(:000000000000 ???????yyyxFxxyxFxxyxFyxFyyxyxy即法線方程.)1,2(09)(2 33處的切線和法線在點求笛卡兒葉形線??? xyyx 例1.012),(0),(96),(,96),(,9)(2 2233????????????121512 yxyxFFxyyxFyxyxFxyyxF，全平面連續(xù)，在解： .0645,0)1(12)2(1: ??????? yxyx 即切線方程 5 .01354,0)1(15)2(1: ???????? yxyx 即法線方程 2 .)2,2(422 處的切線和法線方程在求： ???? yx 練習1 .04)2,(04)2,(2,2,4 222???????????????22 yxyxFFRyFxFyxF，上連續(xù)，在解： ,0)2(4)2( ????? yx4 切線方程：.0?? yx方程：法線 )1)2(.(1)2(,022 ???? ?????????????? 2)2,( 2)2,(yxFFyyyyx 或另解：.0),2(12.04),2(12????????????yxxyyxxy 即法線方程即切線方程二、 空間曲線的切線與法平面 .0)]()]()](,),(),(),(,),(),(),(),(:20202000000000000????????????????tztytxttzztyytxxzyxPLttzztyytxxL[[[ ,( 4 ) ( 4 ) 且可導式中的三個函數并假定這里處的切線和法線方程上點表示的空間曲線討論由參數方程???? : .000tzzztyyytxxx???????????則割線方程ozyx0P?? P.))(),(),(( 000 tztytxT ?????切向量：)5(.)()()(000000 : tzzztyyytxxx????????切線方程推出)6(.0))(())(())(( 000000 : ????????? zztzyytyxxtx法平面方程.,s i n,cos 3平面方程處的切線和法在求螺旋線： ????? tbtztaytax 練習2 . ),(.,c o s,s i n 22 3 baTbztaytax a????????? ?切向量：解：,: 3223232bbzayaxaa ????? ??切線方程.0)()()(: 32 3222 3 ??????? bzbayxa aa ?法平面方程)8().(),(),0),(),()((),(,0),(,0),(000000 ( 7 ) iv ( 7 ) : zyzxPyxGFzyxPzyxGzyxFLLP?? ??????????的隱函數組近能確定唯一連續(xù)可微附在點則方程組是這里不妨設條件件組定理條的某鄰域內滿足隱函數若它在點給出時由方程組當空間曲線.1,),(),(),(),(),(),(),(),(????????????????zyxyxGFzxGFyxGFyzGF)9(.),(),(),(),(),(),(000000 : PPP yxGFzzxzGFyyzyGFxx???????????切線方程推出.1,),(),(),(),(),(),(),(),(????????????????zyxyxGFzxGFyxGFyzGF)9(.),(),(),(),(),(),(000000 : PPP yxGFzzxzGFyyzyGFxx???????????切線方程推出)10(.0)(),(),()(),(),()(),(),(000000 :????????????zzyxGFyyxzGFxxzyGFPPP法平面方程.)5,4,3(50 222222處的切線和法平面方程點所截出的曲線的與錐面求球面 zyxzyx ????? 例2 861086.08686),(),(120610610),(),(160108108),(),(,10,)5,4,3(,2,2,2,2,2,2,50222222??????????????????????????????????yxGFxzGFzyGFGGGFFFzGyGxGzFyFxFzyxGzyxFzyxzyxzyxzyx，并且處，在解： ??????????????.05,0)4(4)3(3,0512041603:)5,4,3(zyxzyx 即點切線方程在 .034,0)5()()(: ????????? yxzyx 即法平面方程 04334 .)5,4,3(50 222222處的切線和法平面方程點所截出的曲線的與錐面求球面 zyxzyx ????? 例2??????????????.05,0)4(4)3(3,0512041603:)5,4,3(zyxzyx 即點切線方程在 .034,0)5()()(: ????????? yxzyx 即法平面方程 04334 ????????????????.222,0222zyyxxzyyxx分析：..,1,6108,6108,0222,02221600160120 結果相同另解：????????????????????????????????????????zyxzyzyzzyyxzzyyx練習 3 求曲線 6222 ??? zyx ， 0??? zyx在點 )1,2,1( ? 處的切線及法平面方程 . 解 1 直接利用公式 。)2,1,1,2(,1,1,2,2,1,23。:00002000???yxFyxFDyxFRDyxPFyy ( i v ) ( i i i ))。,(。)(),(),()2,0)),(),(,(,0)),(),(,(),(~)),(),(,()(),()1,)()(~000000000000000內連續(xù)在時且當使得內的兩個二元隱函數的鄰域在唯一地確定了定義內，方程組的某鄰域則在點QUyxgyxfyxgyxfyxGyxgyxfyxFPVyxgyxfyxQUyxyxgvyxfuQUyxQVPVP ),( ),( ),(( 1 )???????)5(.),(),(1,),(),(1,),(),(1,),(),(1,)()),(),()3 0 yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuQUyxgyxf ????????????????????????且內有一階連續(xù)偏導數在. ( 1 ) ( i v )其他情形均可類似推得的隱函數組應是確定則方程組改為的條件定理).,(),(,0),(),(0xuvvxuyyvyGFP????? 注意. vuvuvxvxxGGFFGGFFu???.,)2,1,1,2(,01),(,0),(0222并求其偏導數數附近能確定怎樣的隱函在討論方程