數(shù)學分析一電子教案(編輯修改稿)
2025-07-04 19:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 . 確界原理:1. 有界數(shù)集: 定義(上、下有界, 有界) 設 S為實數(shù)R上的一個數(shù)集，若存在一個數(shù)M（ L）, 使得對一切 都有 ，則稱S為有上界(下界)的數(shù)集。若集合S既有上界又有下界，則稱S為有界集。例如，區(qū)間 、為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 也是有界數(shù)集. 2．無界數(shù)集: 若對任意，存在 ，則稱S為無界集。 例如，有理數(shù)集等都是無界數(shù)集, 例1 證明集合 是無界數(shù)集.證明：對任意, 存在 由無界集定義，E為無界集。MM+1確界：先給出確界的直觀定義：若數(shù)集S有上界，則顯然它有無窮多個上界，其中最小的一個上界我們稱它為數(shù)集S的上確界，記作 ；MM2M1上確界上界同樣，有下界數(shù)集有無窮多個下界，稱最大下界為該數(shù)集的下確界，記作 。 m2mm1下確界下界精確定義定義2 設S是R中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足以下兩條：（1） 對一切 有 ，即 是數(shù)集S 的上界；（2） 對任意，存在 使得（即是S的最小上界），則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界。記作 S定義3 設S是R中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足以下兩條：（3） 對一切 有 ，即 是數(shù)集S 的下界；（4） 對任意，存在 使得（即是S的最大下界），S則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界。記作 例2 （1） 則 （2） 則注1 由確界定義，若數(shù)集S的上（下）確界存在，則一定是唯一的，且 注2 由上面例子可知，數(shù)集S的確界可以屬于S，也可以不屬于S。例3 設數(shù)集S有上確界，證明 (確界原理). 設 S 為非空數(shù)集，若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。證明 不妨設 S包含非負數(shù)，S有上界 存在自然數(shù) ，使得1）； 2）存在在 內(nèi)作10等分，分點分別為： 存在自然數(shù) 使得 1） 2）存在 …………1） 2）存在 按上述辦
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