【文章內(nèi)容簡介】 ???????就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空（從而引出下面定義）. 2．定義（復(fù)合函數(shù)） 設(shè)有兩個函數(shù) ，(),(),yfDugx，若 ，則對每一個 ，通過 對應(yīng) 內(nèi)唯一一個??()ExfDE??@???@xE?@值 ，而 又通過 對應(yīng)唯一一個值 ，這就確定了一個定義在 上的函數(shù)，ufy@它以 為自變量， 因變量，記作 或 .簡記xy(),fgx?@(),yfgxE??@?為 .稱為函數(shù) 和 的復(fù)合函數(shù)，并稱 為外函數(shù)， 為內(nèi)函數(shù)， 為中間fg?fg u變量.3. 例子14例 求 )( ,)( 2xgufy???????).()(xgff??域. 例 ⑴ ._)( ,1)1(2??xfxf ⑵ ????????) ( )?xf A. B. C. D. ,2 ,12?x,2??x例 討論函數(shù) 與函數(shù) 能否(),[0)yfu???2()1,ugR??進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).4 說明１），都要驗證能否進(jìn)行？在哪個數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？例如： ，復(fù)合成：2sin,1yuvx???.2si1,[,]yx??２）不僅要會復(fù)合，在分解時也要注意定義域的變化.① 2 2log1,(0)log, ayxyuzx?????② 2rcsinrcsinv??③ 2i 2,.xuyyvx五、反函數(shù)在函數(shù) 中把 叫做自變量， ，自變()yfx?y量與因變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如： 那2(),1,fut??么 對于 來講是自變量，但對 來講， tu習(xí)慣上說函數(shù) 中 是自變量， 是因變量，是基于 隨 的變化現(xiàn)()yfx?yyx 隨 的變化狀況，也要研究 隨 的變化的狀yx，我們引入反函數(shù)的概念.15定義設(shè) ?Xf:R 是一函數(shù)，如果 ?1x， X?2, 由)(2121xx??(或由 1)ff?)，則稱 f在 上是 11 的. 若 Y:， (f，稱 為滿的. 若 Xf是滿的 11 的，則稱 f為 11 對應(yīng). ?:R 是 11 的意味著 )(xy?對固定 y至多有一個解x， Yf是 11 的意味著對 Y?， )(f有且僅有一個解 . 定義 設(shè) Xf:是 11 對應(yīng). y?, 由 )(xf?唯一確定一個 x?, 由這種對應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為 y的反函數(shù)，記為 )(1yf??. 反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域 YXf?: ?1顯然有 If?:? (恒等變換）?1 (恒等變換)YXff:)(.從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為 )(1xy??, 這樣它的圖形與 )(xfy?的圖形是關(guān)于對角線 對稱的.嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是 11 對應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù). 但 11 對應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子 ??????21,30)(xxf 它的反函數(shù)即為它自己.實際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行： 1. 確定 YXf?:的定義域 X和值域 Y，考慮 11 Yy?，解方程 yx?)( 得出 )(1yfx?. 2. 按習(xí)慣，自變量 、因變量 互換，得 )(1xf??. 例 求 2)(xesh? ：R R 的反函數(shù).0 xy16 解 固定 y，為解 2xe??，令 zx?，方程變?yōu)? 1z 02y 2?? ( 舍去 12??y)得 )ln(2??yx，即 ()ln2xshx??，稱為反雙曲正弦.定理 給定函數(shù) )(f，其定義域和值域分別記為 X和 Y，若在 Y上存在函數(shù) yg，使得 fg(, 則有 )()1yfg??.分析：要證兩層結(jié)論：一是 )的反函數(shù)存在，我們只要證它是 11 對應(yīng)就行了；二是要證 . 1()f??證 要證 xfy?的反函數(shù)存在，只要證 )(xf是 到 Y的 11 對應(yīng).?1， X?2，若 (21fxf， 則由定理條件，我們有 1)(fg 2g??，即 Y?: 是 11 對應(yīng).再證 . y， ?X?，使得 )(??由反函數(shù)定義 )(1fx，再由定理條件.()()gf 1()gfy??例 ，若 f存在唯一（ |）不動點(diǎn)，則 )(xf也 |?不動點(diǎn).:R證 存在性，設(shè) ][* * x， ][* * ff?，即 )(* xf是 f?的不動點(diǎn)，由唯一性 )(x?，即存在 的不動點(diǎn) * .唯一性： 設(shè) )(xf?， )(fxf，說明 x是 ?的不動點(diǎn)，由唯一性， = * x. 從映射的觀點(diǎn)看函數(shù).設(shè)函數(shù) .滿足：對于值域 中的每一個值 ，Ｄ中(),yfxD?()fDy有且只有一個值 ，使得 ，則按此對應(yīng)法則得到一個定義在()fy?上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為 的反函數(shù)，記作()fD或1:(),(|)fDyx??.1(),()xfyfD???３、注釋a) 并不是任何函數(shù) 0 y=f(x) y=f 1 (x) 0 y=f(x) 17都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù) 有反函數(shù)，意味著 是Ｄ與ff之間的一個一一映射，稱 為映射 的逆映射，它把 ；()fD1? ()D?b) 函數(shù) 與 互為反函數(shù)，并有: f 1,fx???1(),().fxyf???c) 在反函數(shù)的表示 中，是以 為自變量， (),()xfyfD???yx按習(xí)慣做法用 做為自變量的記號， 作為因變量的記號，則函數(shù) 的反f函數(shù) 可以改寫為1f?(),().yxD??應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個函數(shù)，因為其定義域和對應(yīng)法則相同，時有所差別.六 、初等函數(shù)（６類）常量函數(shù)　　 （Ｃ為常數(shù)） ；yC?冪函數(shù)　　 ；()xR??指數(shù)函數(shù) ；0,1ya??對數(shù)函數(shù)　　 ；log(,)ax?三角函數(shù)　　 ；sin,cs,cyytgxt?反三角函數(shù)　　 .araro,xrxyarctgx?注：冪函數(shù) 和指數(shù)函數(shù) 都涉及乘冪，而在()yxR???(01)xy??理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì).定義２．給定實數(shù) ，設(shè) 為無理數(shù)，我們規(guī)定：0,1a??x??sup|,1|0rxx a????????r為 有 理 數(shù) 當(dāng) 時inf為 有 理 數(shù) 當(dāng) 時 .18這樣解決了中學(xué)數(shù)學(xué)僅對有理數(shù) ｘ 定義 xa的缺陷．[問題]：這樣的定義有意義否？更明確一點(diǎn)相應(yīng)的“確界是否存在呢？”２．初等函數(shù)定義３．由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)如：sin2 211sinco,sin(),lg,|.xaeyxyoyx??????不是初等函數(shù)的函數(shù)， Dirichlet 函數(shù)、Riemann 函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).注：，除對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，.例２．求下列函數(shù)的定義域.（１）　 ； （２）　1xy??ln|si|.yx?: 設(shè)函數(shù) 和 都是初等函數(shù), 則)(fg（1） 是初等函數(shù), 因為 )(xf ??.)( 2xf?（2） 和 都是初等函數(shù),??)(,maxgf???? ,min)(?因為 , )(x??)(21xgfxgf??? .)(,inxf?)(（3）冪指函數(shù) 是初等函數(shù),因為???0 )(?fg ?.)(ln)(ln)( xfgxfxeefg?［作業(yè)］ ： 　 3；4:（２） 、 （３） ；　5:（２） ；　7:（３） ；1115P167。4 具有某些特性的函數(shù)授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)——167。4 具有某些特性的函數(shù)教學(xué)目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語.教學(xué)目的：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義；會求一些簡單周期函數(shù)的周期.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的有界性、單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn)：周期函數(shù)周期的計算、驗證.19教學(xué)方法：有界函數(shù)講授，其余的列出自學(xué)題綱，供學(xué)生自學(xué)完成.教學(xué)程序：引 言在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有某些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、有些概念在中學(xué)里已經(jīng)敘述過，因此，“有界集”的定義類似，先談?wù)動猩辖绾瘮?shù)和有下界函數(shù).一、有界函數(shù)有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義定義 1 設(shè) 為定義在 D 上的函數(shù)，若存在數(shù) ，使得對每一個 有f ()MLxD?，則稱 為 D 上的有上（下）界函數(shù)， 稱為 在 D 上()()fxML??f ()f的一個上（下）界.注：（1） 在 D 上有上（下）界，意味著值域 是一個有上（下）界f fD的數(shù)集；（2）又若 為 在 D 上的一個上（下） 界，則任何大于Ｍ（小()f于Ｌ）的數(shù)也是 在 D 上的上（下），函數(shù)的上（下）界若存在，則不f是唯一的，例如： ，1 是其一個上界，下界為－1，則易見任何小于sinyx?－1 的數(shù)都可作為其下界；任何大于 1 的數(shù)都可作為其上界；（3）任給一個函數(shù)，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定義，可類比