【正文】 繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對任何 ?,?k，存在 kn使得1）對任何 S， k1021.?? ；2）存在 xk， k? ．因此得到 ?? n21.??．以下證明 Sif?．（?。θ我??， ?x；（ⅱ）對任何 ?，存在 ?使 x???．［作業(yè)］：P9 1（1） ， （2） ；　2； 4（2） 、 （4） ；７167。.UUxaaa??? ???（4）點(diǎn) 的 左鄰域和點(diǎn) 的空心 左鄰域00(。)U()Ua.??(。|0?????2） ；||a?3） ， ；|hh?| .(0)aha???4）對任何 有 （三角不等式） ；,bR?||||bb??5） ； |||a??6） （ ） ．|b0?三、幾個重要不等式 ,22a??.1sin?x. sinx4均值不等式:對 記,21???Rna? (算術(shù)平均值),1 )( ???nii aaM? (幾何平均值),)(121ninniaG????????? (調(diào)和平均值).1121 ????ninii aaaH?有平均值不等式: 即：),( )(iiiMG?121212 nnnaa??????等號當(dāng)且僅當(dāng) ??Bernoulli 不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)有不等式,1???x(1, .nx???N當(dāng) 且 , 且 時,有嚴(yán)格不等式0?N?)(nx??證：由 且x ????1)( ?nnx .1)(nn???.x利用二項展開式得到的不等式:對 由二項展開式,0??h ,!3)2(1!2)()1( 3nn hnh????? 有 上式右端任何一項.??h ［練習(xí)］P4．5［課堂小結(jié)］：實數(shù)： .???一 實 數(shù) 及 其 性 質(zhì)二 絕 對 值 與 不 等 式[作業(yè)]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3167。1167。2 數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)——167。)||,Ux????? 其中 a?稱 為 該 鄰 域 的 中 心 ， 稱 為 該 鄰 域 的 半 徑 .（2）點(diǎn) 的空心 鄰域.?(。),]()。3 函數(shù)概念授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)——167。1 數(shù)列極限的概念教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；會用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題.教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的 ??發(fā)散、單調(diào)、定義證明數(shù)列的有關(guān)命題，并能運(yùn)用 語言正確表述數(shù)列N?? ?不以某實數(shù)為極限等相應(yīng)陳述.教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的 定義及其應(yīng)用.?教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：一、什么是數(shù)列1 數(shù)列的定義數(shù)列就是“一列數(shù)” ，但這“一列數(shù)”并不是任意的一列數(shù)，而是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下；若函數(shù) 的定義域為全體正整數(shù)集合 ，則稱 N?:fR??注：1）根據(jù)函數(shù)的記號，數(shù)列也可記為 ；(),n?2）記 ，則數(shù)列 就可寫作為： ，簡記為 ，()nfa?()fn12,na? ? ??na即 ；???()|fnN??3）不嚴(yán)格的說法：說 2 數(shù)列的例子（1） ；（2） ；()1:,34n???????? 11:2,435n?????????（3） ； （4）2965? ??()0??二、什么是數(shù)列極限1．引言對于這個問題，先看一個例子：古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子. 天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.把每天截下的部分的長度列出如下（單位為尺） ；第 1 天截下 ，2第 2 天截下 ，21??第 3 天截下 ，3?24第 天截下 ，n12n????　　得到一個數(shù)列： 23,n? ?不難看出，數(shù)列 的通項 隨著 的無限增大而無限地接近于零 .1n??????一般地說，對于數(shù)列 ，若當(dāng) 無限增大時， 能無限地接近某一個常??ana數(shù) ，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù) 不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列.據(jù)此可以說，數(shù)列 是收斂數(shù)列， 0 ??????數(shù)列 ,()n??需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列”的說法，并不是嚴(yán)格的定義，而僅是一種“描述性”的說法，分析.以 為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：1n???????隨著 的無限增大， 無限地接近于 1 隨著 的無限增大，1na???n與 1 的距離無限減少 隨著 的無限增大， 無限減少|(zhì)|??會任意小，只要 充分大.?||n??如：要使 ，只要 即可；|1|0?10n?　　要使 ，只要 即可；||.?任給無論多么小的正數(shù) ，都會存在數(shù)列的一項 ，從該項之后 ，?Na()nN?.即 ，當(dāng) 時， .1||n??????????0,N???n?1||n??????????如何找Ｎ？（或 存在嗎？）解上面的數(shù)學(xué)式子即得： ，取1 當(dāng) 時， .1[]N??0,?n1||nN????????綜上所述，數(shù)列 的通項 隨 的無限增大， 無限接近于 1，1???????1n?即是對任意給定正數(shù) ，總存在正整數(shù) ，當(dāng) 時，有 .此即?N?||?????????25以 1 為極限的精確定義，記作 或 .n??????? 1limn??????????1,n???定義 1 設(shè) 為數(shù)列, 為實數(shù),若對任給的正數(shù) ,總存在正整數(shù) ,使得??naa?N當(dāng) 時有 , 則稱數(shù)列 收斂于 ,實數(shù) 稱為數(shù)列 的極限,N?||?????na??na并記作 或 .limn???()n(讀作:當(dāng) 趨于無窮大時, 的極限等于 或 趨于 ).由于 限于取正整nan數(shù),所以在數(shù)列極限的記號中把 寫成 ,即 或??limna???.()na若數(shù)列 沒有極限，則稱 不收斂，或稱 為發(fā)散數(shù)列.??n??n??n[問題]：如何表述 沒有極限？ na 定義來驗證數(shù)列極限N??例 : .1lim0()pn????證明: 不妨設(shè) ,要使 | －0| .??2?1pnp? 只要 ,取 N=p1)()(???????P 則當(dāng) nN 時,有 | －0|= ≤ 1pnppP)12(????????例 2 求證 0,lim????qqn.證明: ??? 不妨設(shè) ?，要使 ????nnq0 ，只要 lg?qn（注意這里 0lg,lq） ，只要 lg?. 取??????qNlg，則當(dāng) N時，就有 ???n， 即 lim??n.例 3 求證 )(1lim????an.證法 1 先設(shè) ， 0??，要使 ????1nna， 只要 ???na， 只要 )1(lg??n，只要 )lg(??. 取 ????????)lg(?aN， 當(dāng) N?時，就有 ?1na，即 1lim???na.對 10?，令 b，則 limli???nnba.26證法 2 令 nnha??1，則 nnn hha?????1)( ，an?00???, 要使 ??, 只要 ??，取 ???????aN，只要 N，就有??1na，即 lim??n.例 4 證 )1(0!??an.證明: 因為 )!][(!][][2 aan??????????，0???， 要使????!0!nan，只要 ??ac，取 ????????N，則只要 Nn，就有?an，即 0lim??n.例 5 .04li2???n證明: ????????? nn3!3)2(1!2)1(31)( 3? . ,!???n注意到對任何正整數(shù) 時有 就有kn ,?,k? )2(176)2(1276404?????nn .12746n????于是，對 取 ,0??}. , max{???????N??例 6 .lim???an證法一 令 有 用 Bernoulli 不等式，有,1n???.0n 或 ),1()( ?????na? .11naan????證法二 （用均值不等式） ?nna個10???? ? .n??例 7 .lim???n證一： 時， 2? 102 nnn ????????證二： 2)(!)()??n （二項式展開）27 ? 12??nn 因此， 0??，取][2???N ，則當(dāng) Nn?時就有 ???10n即附：此題請注意以下的錯誤做法： )1()1(?????nnn??????nn1n1???? （注意 不趨于零）例 8：證明34lim2????n證明：由于 n1222? （ 3?） （*）因此， 0???只要取??n1 便有???42n由于（*）式是在 3?的條件下成立的，故應(yīng)取]}12[,3max{??N，當(dāng)Nn?時就有???42n 即 34li2???n 總結(jié) 用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點(diǎn)，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份.4 關(guān)于數(shù)列的極限的 定義的幾點(diǎn)說明N??（1）關(guān)于 ：① 1 中的正數(shù) 的作用在