數(shù)學(xué)分析-定積分應(yīng)用-wenkub
2022-09-02 07:29:49 本頁面
【正文】 ??33s i nc o sayaxa – a 0 ? ? ? 2? 或 . P ? . 一圓沿另一圓 內(nèi)緣 無滑動(dòng)地 滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn) 所畫出的曲線。 2022/8/26 7 例 1. 寫出長為 l 的非均勻細(xì)直棒質(zhì)量的積分表達(dá)式， 任一點(diǎn)的線密度是長度的函數(shù)。因此定積分的應(yīng)用也非常廣泛。本書主要介紹幾何、物理上的應(yīng)用問題，例如：平面圖形面積，曲線弧長， 旋轉(zhuǎn)體體積，水壓力，抽水做功，引力等。 解 :建立坐標(biāo)如圖 , o x l x x+dx 設(shè)任意點(diǎn) x的密度為 )(x?step1. ?],[ ?? dMdxxx 則取微元step2. dxx)l??0 (M ?質(zhì)量 下面用微元法討論定積分在幾何，物理中的 一些應(yīng)用。 . 星形線 (圓內(nèi)旋輪線 ) 2022/8/26 32 轉(zhuǎn)體體積。 . ? ?? R xxR0 22 d) t a n(21 2 ?2022/8/26 42 o y R x –R R 方法 2 . 半徑為 R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ?角的 平面所截， 得一圓柱楔。 ??? R yySV )d(2022/8/26 44 h R x o x A(x) A(x) yh ???? ?? xRhV = ??RR xxA d )(. ? ?? R xxRh 0 22 d 2θθhRπdco s2 2022 ?? hR ???? ?. –R y . 例 6：求以半徑為 R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為 h的正劈錐體的體積。 x x dx 27 3 20 0 取 x為積分變量， ?][? ,?x 取任一小區(qū)間 ],[ dxxx ? ,]30,3[?x分析 （如下圖）建立坐標(biāo)系： 2022/8/26 64 因這一薄層水抽出圍囹所作的功近似于克服這一薄層重量所作的功 ， 所以功元素為： ( k J )29 809 80 63032303?????????? ? xdxxW ??解 建立坐標(biāo)系如圖 取 x為積分變量， ]30,3[?x取任一小區(qū)間 ],[ dxxx ? ,這一薄層水的重力為 ??,980 dxxdW ??? ?于是在 [3,30]上 ， 抽盡水所作的功為： x x dx 27 3 20 0 x x dx 27 3 20 0 270,)3(980 dxxdW ???? ?]27,0[( k J )2)3(9 80)3(9 80 62702270???????? ???? ?xdxxW ??O在水面 2022/8/26 65 的功？米高的水箱中，求所作抽到上方，若將容器中的水一圓錐形容器尺寸如圖例5156 ?? yxm6)0,6(dxxgydW )5(2 ?? ?m5Adxxxg )5()6(3625 2 ??? ?m5解： 建立坐標(biāo)系如圖 oxy)5,0(B:直線方程AB? ??? 60 2 )5()6(3625 dxxxgW ?xdxx ?需計(jì)算薄片的寬度 )6(65 xy ???2022/8/26 66 二、水壓力水的即 比重 ,?為 深度 處h 的壓強(qiáng)為 hp ??問題：水的壓力是如何產(chǎn)生的？ 水有重量，所以水也會(huì)對(duì)與其接觸的物體產(chǎn)生壓力， 水的壓力來自水中的四面八方。求該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)有一個(gè)質(zhì)量為處其延長線上距離一端線密度為設(shè)勻質(zhì)細(xì)棒長為例MMmal,6 ??M解x0如圖，建坐標(biāo)系lal??xdxx ?],0[ lx ?小段質(zhì)量為 ,dx? ?r 距離 xal ??GdF ? 2)( xal ??dxm ??? ?? ??? l xal dxGmF 0 2)( 0l).11( alaGm ????這是引力 dF的方向不隨小區(qū)間 [x, x+dx]的改變而變化的情形。 2022/8/26 76 解 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇? ,)( kxxf ?第一次錘擊時(shí)所作的功為 ?? 101 )( dxxfw ,210kk x d x ?? ??? hh dxxfw 0 )(例 ： 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入 1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 n次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？ 設(shè) 次擊入的總深度為 厘米 hn次錘擊所作的總功為 n 20 21 khk x d xh ?? ?2022/8/26 77 ,22khW h ?依題意知，每次錘擊所作的功相等． 1nww h ? ? 22kh,2kn ??,nh ?.1?? nn次擊入的總深度為 n第 次擊入的深度為 n,21 kW ?2022/8/26 78 利用“ 微元法 ”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題． （注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)） 四、小結(jié) 2022/8/26 79 思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？ 2022/8/26 80 思考題解答 該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力．因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關(guān)． 2022/8/26 81 一、 直徑為 20 厘米，高為 80 厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為 310厘米牛 的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？二、 一物體按規(guī)律3tcx ? 作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由 0?x 移至 ax ?時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所作的功 .三、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長 610 米和米，高為 20 米，較長的底邊與水面相齊 . 計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力 .練 習(xí) 題 2022/8/26 82 四、 半徑為 的球沉r 入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作多少功？ 五、 一塊 a高為 ， b底為 的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計(jì)算薄板每面所受的壓力 . 六、 設(shè)有一半 R徑為 ，中心 j角為 的圓弧形細(xì)棒，其線密度為 ?常數(shù) ，在圓心處有 一質(zhì) 的量為 m 質(zhì)點(diǎn)M ，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì) M點(diǎn) 的引力 . 2022/8/26 83 七、 油類通過直油管時(shí)，中間流速大，越靠近管壁流速越小，實(shí)驗(yàn)測定，某處的流 與速 v 流處到管子中心的距 之間離 r 有關(guān)系式 )(22rakv ?? , 其中為比例k 常數(shù)， 為油管a 半徑 . 求通過油管的流量 （注：當(dāng)流速為常量時(shí)，流量 = 流速 ? 截面積） .2022/8/26 84 一、 2ln8 0 0 ? ( 焦耳 ). 二、3732725akc ( 其 為中 k 比例常數(shù) ) . 三、 14 37 3 ( 千牛 ) . 四、 gr434? . 五、 ?ba261. 六、引力的大小為2si n2 j?Rkm, 方向 指為 M 向圓弧 的中心 . 七、42ak ?.練習(xí)題答案 。 這對(duì)于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非
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