[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析中期末復(fù)習(xí)-wenkub
2023-01-24 01:00:39 本頁面
【正文】 (i) 參數(shù)方程： 0( ),: ( ), [ , ]( ),x x ty y t t a bz z t???? ? ?????, 切向量 為 0 0 0( ( ), ( ), ( )).x t y t z t? ? (ii) 直角坐標(biāo) : 0,: ( ), [ , ]( ),xxy y x x a bz z x???? ? ?????, 切向量 為 00(1, ( ), ( )).y x z x? ??? (iii) 兩個(gè)光滑曲面的交線 : ( , , ) 0,: ( , , ) 0,F x y zG x y z ??? ? ?? 在點(diǎn) 0 0 0 0( , , )P x y z? 處 , 切向量 為0( , ) ( , ) ( , )( , , )( , ) ( , ) ( , )F G F G F G Py z z x x y? ???? ? ? ?=0, , .y z x yzxy z z x x yF F FFFPG G G G G G?????? (2)、空間光滑曲面的切平面與法線 : (i) 隱式方程 : ( , , ) 0,F x y z ? 在 0 0 0 0( , , )P x y z? 處。 或者 f 在 0x 處可偏導(dǎo)且 0( ) x ? f 的定義域內(nèi)部這兩種點(diǎn)均稱為 f 的極值可疑點(diǎn) . 因此 ,要尋求 f 的極值點(diǎn) ,只須從 f 的極值可疑點(diǎn)中去尋求即可 . 駐點(diǎn)可能不是極值點(diǎn) ,如 ,z xy? 則 ( , ) (0,0)xy? 是駐點(diǎn) ,但不是極值點(diǎn) 。( , ) ( , ) ( , ) , 0.DDDf x y x f x y f x y f ff x y x f x y f x y f? ? ? ????? ? ? ?????? ????右當(dāng) 是 的 偶 函 數(shù) ， 即 則當(dāng) 是 的 奇 函 數(shù) ， 則 c) 設(shè) D 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即 ( , ) ( , ) ,x y D x y D? ? ? ? ?則 ( , ) ( , ) ( , ) 2 。 6(4)(8)。 5(1)(2)(3)(4)(8). 。 2(1)(2)。 例 2 2 21111si n [ ( ) ] 0 (x y zx y z d V f? ? ?????? 關(guān) 于 原 點(diǎn) 對(duì) 稱 ， 是 奇 函 數(shù) ) 例 72s in 0 ( )x y zx d V y z f x? ? ?????? 關(guān) 于 平 面 對(duì) 稱 ， 是 的 奇 函 數(shù) 例 [ , ] [ , ] [ , ]( ) (a b c d e fA x B y C z D d V??? ? ???? 用 重 心 公 式 ) [ ] ( ) ( ) ( ) .2 2 2a b c d e fA B C D b a d c f e? ? ?? ? ? ? ? ? ? 10 例 設(shè) ? ?( , ) | | | | | , 0 ,D x y x y a y? ? ? ? 則 D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，故 0.D xdxdy??? 但由比較定理的補(bǔ)充結(jié)果有 0.D ydxdy??? 例 設(shè) ? ?2 2 2( , , ) 1 , 0 ,n n nx y z x y z z? ? ? ? ? ?則 0,xdV ydV??????? ??? 但 ? ???? 化重積分為累次積分 (1) x 型區(qū)域 D 的形式為 : 12{( , ) | ( ) ( ) , }D x y y x y y x a x b? ? ? ? ?, 先對(duì) y 再對(duì) x 的二次積分為 : 21()()( , ) ( , ) .b y xa y xD f x y d x d y d x f x y d y??? ? ? (2) y 型區(qū)域 D 的形式為 : 12{( , ) | ( ) ( ) , }D x y x y x x y c y d? ? ? ? ?, 先對(duì) x 再對(duì) y 的二次積分為 : 21()()( , ) ( , ) .d x yc x yD f x y d x d y d y f x y d x??? ? ? (3) 空間中 xy 型 (或者 12? 型 )? 的形式為 : 12{( , , ) | ( , ) ( , ) , ( , ) }xyx y z z x y z z x y x y? ? ? ? ? ?, 其中 xy? 是 ? 在 xy 平面上的投影 .從而可得 12? 積分如下 : 21( , )( , )( , , ) .xyz x yz x yf dx dy f x y z dz?????? ?? ? 注 : 注意 yz 型與 zx 型區(qū)域的形式 . 21? 型區(qū)域 ? 的型式為 : ? 夾于平面 , ( )z e z f e f? ? ?，對(duì)任意的 [ , ]z e f? ，平面 Zz? 在 ? 截下的平面取域?yàn)椋簕 ( , ) | ( , ) }zzZzD x y x y D??????，則可得 12? 積分如下： ( , , ) .zfeDf dz f x y z dx dy????? ? ?? 重積分的計(jì)算 (1) 對(duì)于二重 積分： 有直角坐標(biāo) 、 極坐標(biāo) 、 廣
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