[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析中期末復(fù)習(xí)(文件)
【正文】 義極坐標(biāo)方法與變量代換 方法 . (2) 對于三重積分：有直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、廣義柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、廣義球坐標(biāo)方法與變量代換方法 . 基本習(xí)題有 p251:4(1)(2)。( , ) ( , ) ( , ) , 0DDDf x y y f x y f x y f ff x y y f x y f x y f? ? ? ????? ? ? ?????? ????上當(dāng) 是 的 偶 函 數(shù) ， 即 則當(dāng) 是 的 奇 函 數(shù) ， 即 則 。 最值點也可以不是極值點 (例如當(dāng)最 值點不是函數(shù)定義域的內(nèi)點時 )。 7(1)(3),(6)(8). 四、 第十二章 多元函數(shù)微分學(xué) 有關(guān)連續(xù)、可偏導(dǎo)與可微的 概念 (1)、 一些 例子 (a)、可偏導(dǎo)但不連續(xù)的例子： 例 002 , ,( , )1, x x y yf x y ???? ?? 或其 它 ，在 00( , )xy 點處 . 例 22 , ( , ) ( 0 , 0) ,( , )0 , ( , ) ( 0 , 0) ,xy xyxyf x yxy? ???? ????在 (0,0) 點 . (b)、連續(xù)但不可偏導(dǎo)的例子： 例 , 0( )( , ) , 0 ,0,y x yf x y x y????????即 在 軸 上 ,（ 即 在 x 軸 上 ）其 它 ,在 (0,0)點處 . (c)、可偏導(dǎo)未必可微 的 例 子 例 22 , ( , ) ( 0 , 0) ,( , )0 , ( , ) ( 0 , 0) ,xy xyxyf x yxy? ???? ????在 (0,0) 點 .(因為在 (0,0) 點不連續(xù)，所以不可微 ). 例 1, 0 0 ,( , )0, xyf x y ???? ?? 或其 它 ，在 (0,0)點 . (因為在 (0, ) 點不連續(xù)，所以不可微 ). (d)、連續(xù)且可偏導(dǎo)不能導(dǎo)出可微 的 例 子 例 ( , ) ,z f x y xy??在 (0,0) 點 . 4 例 22 , ( , ) ( 0 , 0) ,( , )0 , ( , ) ( 0 , 0) ,xy xyz f x y xyxy? ???? ?????在 (0,0) 點 . (2)、 若偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù) ,則必可微 . 判斷一個函數(shù) ( , )z f x y? 在 00( , )xy 處可微的原則與主要步驟如下 : (i) 若函數(shù) ( , )z f x y? 在 00( , )xy 處不連續(xù)或不可偏導(dǎo) (即至少有一個偏導(dǎo)數(shù)不存在 ),則函數(shù)在 00( , )xy 處必不可微 . (ii) 若函數(shù) ( , )z f x y? 在 00( , )xy 處 連續(xù)且可偏導(dǎo) ,則考察如下的 0 0 0 0 0 0 0 02200( , ) ( , ) ( , ) ( , )l im xyxyf x x y y f x y f x y x f x y yxy????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????極 限 為 0則 可 微 ,其 他 情 形 不 可 微 . 關(guān)于方向?qū)?shù) (1)、對于 12( , , , )nz f x x x? ,在任何一個定點處有 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ? 可微 ? 方向?qū)?shù)處處存在 ,且有1 c o s ,nii iffg ra d f vvx ????? ? ? ? 其中 i? 是 v 與 ix 軸正向的夾角 . 當(dāng) gradf 與 v 同向時 , 方向?qū)?shù)達到最大其值為 21gr a dni iff x????? ??????, 反向時 達導(dǎo) 最小 為21gra dni iff x????? ? ? ??????, 而垂直時為 0. (2) 對于分段函數(shù)的分段點 ,一定要用定義來求方向?qū)?shù) . 混合偏導(dǎo)數(shù) 混合偏導(dǎo)數(shù) 0 0 0 0( , ), ( , )xyf x y f x y存在 ,未必相等 。 當(dāng) 0p? 時都發(fā)散 . 收斂性判別 : 首要的問題是判別類型 : 是無界區(qū)域上的反常積 分 ,還是無界函數(shù)的反常積分 。 當(dāng) (0,1]p? 時都條件收斂的 。 例 1, 0 0 ,( , )0 , 0 , 0xyg x y xy???? ? ??? 或在 (0, ) 點處 . (2)、沿任何直線方向的極限存在相等但二重極限不存在的例子 : 例 21 , 0( , )0yxf x y ? ??? ???或 y ＝ ， 其 它在 (0,0). 例 下冊教材 上 P122 例 . (3)、二重極限存在，但兩個二次極限不存在的例子 : 例 2211( ) sin sin , 0 0 ,( , )0,x y x yxyf x y ? ? ? ??? ???且其 它在 (0,0). 例 11( ) si n si n , 0 0 ,( , )0,x y x yxyf x y ? ? ? ??? ???且其 它在 (0,0). (證明仿 (1)，也可見講稿 ) (4)、二重極限存在 , 但兩個二次極限恰有一個不存在的例子 : 例 1sin , 0 0( , )0,y
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