【正文】 定義 1 設 為數(shù)列, 為實數(shù),若對任給的正數(shù) ,總存在正整數(shù) ,使得??naa?N當 時有 , 則稱數(shù)列 收斂于 ,實數(shù) 稱為數(shù)列 的極限,N?||?????na??na并記作 或 .limn???()n(讀作:當 趨于無窮大時, 的極限等于 或 趨于 ).由于 限于取正整nan數(shù),所以在數(shù)列極限的記號中把 寫成 ,即 或??limna???.()na若數(shù)列 沒有極限，則稱 不收斂，或稱 為發(fā)散數(shù)列.??n??n??n[問題]：如何表述 沒有極限？ na 定義來驗證數(shù)列極限N??例 : .1lim0()pn????證明: 不妨設 ,要使 | －0| .??2?1pnp? 只要 ,取 N=p1)()(???????P 則當 nN 時,有 | －0|= ≤ 1pnppP)12(????????例 2 求證 0,lim????qqn.證明: ??? 不妨設 ?，要使 ????nnq0 ，只要 lg?qn（注意這里 0lg,lq） ，只要 lg?. 取??????qNlg，則當 N時，就有 ???n， 即 lim??n.例 3 求證 )(1lim????an.證法 1 先設 ， 0??，要使 ????1nna， 只要 ???na， 只要 )1(lg??n，只要 )lg(??. 取 ????????)lg(?aN， 當 N?時，就有 ?1na，即 1lim???na.對 10?，令 b，則 limli???nnba.26證法 2 令 nnha??1，則 nnn hha?????1)( ，an?00???, 要使 ??, 只要 ??，取 ???????aN，只要 N，就有??1na，即 lim??n.例 4 證 )1(0!??an.證明: 因為 )!][(!][][2 aan??????????，0???， 要使????!0!nan，只要 ??ac，取 ????????N，則只要 Nn，就有?an，即 0lim??n.例 5 .04li2???n證明: ????????? nn3!3)2(1!2)1(31)( 3? . ,!???n注意到對任何正整數(shù) 時有 就有kn ,?,k? )2(176)2(1276404?????nn .12746n????于是，對 取 ,0??}. , max{???????N??例 6 .lim???an證法一 令 有 用 Bernoulli 不等式，有,1n???.0n 或 ),1()( ?????na? .11naan????證法二 （用均值不等式） ?nna個10???? ? .n??例 7 .lim???n證一： 時， 2? 102 nnn ????????證二： 2)(!)()??n （二項式展開）27 ? 12??nn 因此， 0??，取][2???N ，則當 Nn?時就有 ???10n即附：此題請注意以下的錯誤做法： )1()1(?????nnn??????nn1n1???? （注意 不趨于零）例 8：證明34lim2????n證明：由于 n1222? （ 3?） （*）因此， 0???只要取??n1 便有???42n由于（*）式是在 3?的條件下成立的，故應取]}12[,3max{??N，當Nn?時就有???42n 即 34li2???n 總結 用定義求極限或證明極限的關鍵是適當放大不等式，關鍵的追求有兩點，一是把隱性表達式變成顯性表達式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份.4 關于數(shù)列的極限的 定義的幾點說明N??（1）關于 ：① 1 中的正數(shù) 的作用在于衡量數(shù)列通項?與常數(shù) 的接近程度， 越小，表示接近得越好；而正數(shù) 可以任意小，說na明 與常數(shù) 可以接近到任何程度； ② 有其任意性，但?一經(jīng)給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出 ；③ 的多值性. 既是N?任意小的正數(shù)，那么 等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義 1 中的2,3?不等式 中的 可用 “ ”可用“||na??2,?||na??”代替；④正由于 是任意小正數(shù)，我們可以限定 小于一個確定的||?? ?正數(shù).28（2）關于 ：① 相應性，一般地， 隨 的變小而變大，因此常把 定NN?N作 ，來強調(diào) 是依賴于 的； 一經(jīng)給定，就可以找到一個 ；② 多值()??性. 的相應性并不意味著 是由 唯一確定的，因為對給定的 ，若?時能使得當 時,有 ,則 或更大的數(shù)時此不等式自10?n?||na??10? 不是唯一的 .事實上，在許多場合下，最重要的是 的存在性，在實際使用中的 也不必限于自然數(shù)，只要N是正數(shù)即可；而且把“ ”改為“ ”?（3）數(shù)列極限的幾何理解：在定義 1 中， “當 時有 ”n?||na???“當 時有 ” “當 時有?n?na??????N?” 所有下標大于 的項 都落在鄰域 內(nèi)；??,(。)aU??????n(。)U而在 之外，數(shù)列 中的項至多只有 個（有限個）.反之，任給 ，(。)??n 0?若在 之外數(shù)列 中的項只有有限個，設這有限個項的最大下標為 ，則當 時有 ，即當 時有 ，由此寫出數(shù)列極限的nN?(。)na?N?||na???一種等價定義（鄰域定義）：定義 任給 ，若在 之外數(shù)列 中的項只有有限個，則稱數(shù)1?0?(。)U???列 收斂于極限 .??n由此可見：1）若存在某個 ，使得數(shù)列 中有無窮多個項落在0na之外，則 一定不以 為極限；2）數(shù)列是否有極限，只與它從某一0(。)Ua?naa項之后的變化趨勢有關，在討論數(shù)列極限時，可以添加、去掉或改變它的有限項的數(shù)值，對收斂性和極限都不會發(fā)生影響.例 1．證明 和 ??(1)n?例 2．設 ，作數(shù)列如下： . 證limlinxya?????12:,nnzxyxy? ?明　 .nz例 3．設 為給定的數(shù)列， 為對 增加、減少或改變有限項之后得anbna：數(shù)列 與 同時收斂或發(fā)散，且在收斂時兩者的極限相等.??na三、無窮小數(shù)列在所有收斂數(shù)列中，在一類重要的數(shù)列，稱為無窮小數(shù)列，其定義如下：定義 2　若 ，則稱 ???na如 都是無窮小數(shù)列.11(),2?????????????數(shù)列 收斂于 的充要條件：??n定理 　數(shù)列 收斂于 的充要條件是 ??na?[作業(yè)] 教材 P27 3，4，5，7，8⑵.167。2　收斂數(shù)列的性質(zhì)29教學內(nèi)容：第二章 數(shù)列極限——167。2　收斂數(shù)列的性質(zhì).教學目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法.教學要求：（1）使學生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、局部有界性、保號性、保不等式性；（2）掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運算定理、迫斂性定理，并會用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限.教學重點：迫斂性定理及四則運算法則及其應用.教學難點：數(shù)列極限的計算.教學方法：講練結合.教學程序：引 言上節(jié)引進“數(shù)列極限”的定義，并通過例題說明了驗證 的方法，limna???這是極限較基本的內(nèi)容，.一、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì) 1（極限唯一性）　若數(shù)列 }{na收斂，則它的極限唯一.證一：假設 ba與 都是數(shù)列 的極限，則由極限定義，對 0???，12,N??@，當 1n?時，有 ???an； 2Nn?時，有 ???ban取 ),mx(21N?，則當 時有 ?2||||| ??????baabannnn由 ?的任意性，上式僅當 b?時才成立.證二：（反證）假設 }{n極限不唯一，即至少有兩個不相等的極限值，設為 ba,an???lim， bn?li且 a?故不妨設 ba?，取02???a?由定義， 1N??@，當 1?時有 ?n?bn?30 又 2N??@，當 2n?時有 ???ban?2ban?????因此，當 ),max(21時有 nn?矛盾，因此極限值必唯一.性質(zhì) 2（有界性）如果數(shù)列 }{n收斂，則 }{ 0??M，使對 n?有 Man?|證明：設 n???lim取 1?， 0??N使得當 Nn時有 1??an即 |||???aann?1||?an 令 |),|,|1x(21NM???則有對 n? a?|即數(shù)列 }{na有界注：①有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件，如 })1{(n?②在證明時必須分清何時用取定 ?，何時用任給 ?.上面定理 證明中必須用取定 ?，不能用任給 ?，否則 N隨 在變，找到的 M也隨 在變，界M的意義就不明確了.性質(zhì) 3（保序性）設 an???lim， bn?li， （1） 若 ba?，則存在 N使得當 ?時有 nba（2） 若存在 ，當 n時有 nba?，則 （不等式性質(zhì)）證明：（1）取02???ba?，則存在 1N，當 1?時 2||ban??從而 n?31又存在 2N，當 2n?時 2||ban???2ban???? 當 ),max(21時 nn?（2） （反證）如 b?，則由⑴知必 N?當 ?時 nba這與已知矛盾推論（保號性