數(shù)學分析-數(shù)項級數(shù)-資料下載頁
2025-07-25 06:21本頁面
【正文】 就有 . 由Cauchy收斂準則 , 收斂.取 ↘0 , , 由Dirichlet判別法 , 得交錯級數(shù) 收斂 . 可見Leibniz判別法是Dirichlet判別法的特例.由Dirichlet判別法可導出 Abel判別法 . 事實上 , 由數(shù)列 單調(diào)有界 , 收斂 , 設(shè) . 考慮級數(shù) , 單調(diào)趨于零 , 有界, 級數(shù) 收斂 , 又級數(shù) 收斂, 級數(shù) 收斂. 例4 設(shè) ↘0. 證明級數(shù) 和 對 收斂. 證 ，時 ， ， . 可見 時, 級數(shù) 的部分和有界 . 由Dirichlet判別法推得級數(shù)收斂 . 同理可得級數(shù)數(shù) 收斂 . 習 題 課 例1 判斷級數(shù) 的斂散性 . 解 注意到 , 所論級數(shù)絕對收斂 , 故收斂. ( 用D判法亦可). 例2 考查級數(shù) 的絕對及條件收斂性 . 解 時為Leibniz型級數(shù), ……, 條件收斂 。 時 , 絕對收斂 . 例3 若 . 交錯級數(shù) 是否必收斂 ? 解 未必. 考查交錯級數(shù) . 這是交錯級數(shù) , 有 . 但該級數(shù)發(fā)散 . 因為否則應(yīng)有級數(shù) 收斂 . 而 .由該例可見 , 在Leibniz判別法中 , 條件 單調(diào)是不可少的. 例4 判斷級數(shù) 的斂散性. 解 從首項開始,順次把兩項括在一起, 注意到 , 以及 級數(shù) , 所論級數(shù)發(fā)散. 例5 設(shè)級數(shù) 收斂. 證明級數(shù) 收斂. 證 . 由Abel或Dirichlet判法, 收斂. 例6 , 判斷級數(shù) 的斂散性. 解 . , 現(xiàn)證 級數(shù) 收斂 : 因 時不 , 又 ↘ , 由Dirichlet判法, 級數(shù) 收斂.故本題所論級數(shù)發(fā)散. 例7 判斷級數(shù) 的絕對收斂性. 解 由Dirichlet判法,. 仿例6 討論,知本題所論級數(shù)條件收斂. 例8 設(shè)級數(shù)絕對收斂,收斂. 證明級數(shù) 先證數(shù)列收斂 . 事實上, 收斂 ,收斂. 令 , 則數(shù)列 收斂 ,故有界 . 設(shè) , 于是由Abel變換, 有 , ( 或 而 , 收斂. 又 數(shù)列 和 收斂, 數(shù)列 收斂 , 部分和數(shù)列 收斂. 例9 設(shè)數(shù)列 收斂 , 級數(shù) 收斂 . 證明級數(shù) 收斂 .證 注意到 , 收斂 . 例10 設(shè)↘ ,.證明級數(shù) 收斂. 證法一 由 ↘ , ↘ , . 因此,所論級數(shù)是Leibniz型級數(shù), 故收斂. 證法二 , ↘ , . 由Dirichlet判法, 收斂. 18
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