【正文】 分析：要尋求之和，只要將其部分和用已知級(jí)數(shù)部分和與已知數(shù)列表示出來(lái). 解：因 ，則，于是 . 等差數(shù)列求和（首尾相加法） 等差級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過(guò)比較各項(xiàng)得到其公差，并運(yùn)用公式可求和. ，其中為首項(xiàng)，為公差 證明： ① ， ② ①+②得： 因?yàn)榈炔罴?jí)數(shù) 所以此證明可導(dǎo)出一個(gè)方法“首尾相加法”，此類型級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)各項(xiàng)逆置后與原級(jí)數(shù)四則運(yùn)算由首尾各項(xiàng)四則運(yùn)算的結(jié)果相同，便化為一簡(jiǎn)易級(jí)數(shù)求和. 求.解： ， ，兩式相加得：，即： .故原級(jí)數(shù)的和 等比數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法） 等比級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過(guò)比較各項(xiàng)得到其公比并運(yùn)用公式可求和.當(dāng)=1，；當(dāng)≠1，其中為首項(xiàng)，為公比. 證明：當(dāng)=1，易得，當(dāng)≠1， ① ， ② ，①②得 .可以導(dǎo)出一種方法“錯(cuò)位相減”，此方法通常適用于等差與等比級(jí)數(shù)混合型，通過(guò)乘以等比級(jí)數(shù)公比，再與原級(jí)數(shù)四則運(yùn)算后化為等差或等比級(jí)數(shù)求和. 計(jì)算.解： ① ， ② ，②①得： ，=3.故原級(jí)數(shù)的和 [5] 分組求和法 ① 此方法的原理：如果收斂，那么收斂，且，當(dāng)把級(jí)數(shù)分成兩個(gè)或多個(gè)（有限個(gè)）收斂級(jí)數(shù)的和時(shí)，注意一定要保證均收斂。② 用均收斂。 求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。 解：取 則 可見(jiàn)此方法關(guān)鍵之處在于數(shù)列的構(gòu)造選取。[6] 微分方程法法 構(gòu)造冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算，得到滿足的微分方程，通過(guò)求解微分方程來(lái)求出和函數(shù)。 求 解：構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，顯然其收斂域?yàn)?，設(shè),于是得到一階線性微分方程 其通解為 [7] 利用遞推法求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 求級(jí)數(shù)的和，m為某自然數(shù) 分析：利用遞推法求出的表達(dá)式 解：因?yàn)樗? (*)把（*）中的m依次用代替得用依次乘上式，然后兩邊相加，得 故[8] 部分和子列 要點(diǎn)：先獲知級(jí)數(shù)收斂，再取級(jí)數(shù)部分和的某一子列，然后求出此子列的極限即得級(jí)數(shù)和。我們簡(jiǎn)稱為部分和子列法。 求級(jí)數(shù)的和 解：由Lcibniz判別法知此級(jí)數(shù)是收斂的，即存在現(xiàn)在取部分和數(shù)列中足標(biāo)為偶數(shù)的子列因此 熟知公式： 其中，為著名的Eurler常數(shù)，利用這個(gè)公式得 所以，故值得指出的是部分和子列對(duì)非正項(xiàng)級(jí)數(shù)常常是行之有效的。 裂項(xiàng)相消法 要點(diǎn)：設(shè), , 則的部分和為 .若 , 則 .也就是說(shuō) 的和為 .我們稱上述求級(jí)數(shù)和的方法為裂項(xiàng)相消法. 利用裂項(xiàng)相消法求級(jí)數(shù)的和, 關(guān)鍵是怎樣將級(jí)數(shù)的通項(xiàng)拆成前后有抵消部分的形式, 通常經(jīng)過(guò)變形, 有理化分子或分母, 三角函數(shù)恒等變形等處理可達(dá)到裂項(xiàng)相消的目的. 以下用具體例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)明. 求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和. 解：因?yàn)? , 所以 , 于是 .所以 . 如果一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是一個(gè)三角函數(shù)式, 則可考慮利用三角函數(shù)公式, 將其化簡(jiǎn)為兩式之差以便運(yùn)用裂項(xiàng)相消法. 求級(jí)數(shù) 的和. 解：先考慮變換問(wèn)題的數(shù)學(xué)形式, 由 ,聯(lián)想到正切的差角公式 , 再設(shè) , 則原級(jí)數(shù)的部分和為所以 .如果一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是一個(gè)分母為若干根式之積的分式, 則可考慮將其分母或分子有理化以便運(yùn)用裂項(xiàng)相消法.二 利用冪級(jí)數(shù)的知識(shí)求和 若收斂，則有=，將轉(zhuǎn)化成，對(duì)求有如下兩種常用方法：逐項(xiàng)微分求和，逐項(xiàng)積分求和。 ，若容易求和，則此方法好用，若，為n的多項(xiàng)式并且含有因子n更好求出. 由前面定理06可知：和號(hào)同求導(dǎo)運(yùn)算可以交換, 它也稱為逐項(xiàng)微分的定理. 但要注意的是, 僅僅在條件“一致收斂”之下, 即使存在且連續(xù), 也不能保證和號(hào)同求導(dǎo)數(shù)號(hào)可以交換.例 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和. 解：構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，.設(shè)它的和函數(shù)是，即.由冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)可導(dǎo)，有 ，有 .因?yàn)椋? .令，有 例 求級(jí)數(shù). 解：令 ,逐項(xiàng)求導(dǎo)得 ,所以 .因?yàn)榧?jí)數(shù)在處收斂, 所以 ,即 . 逐項(xiàng)積分求和 ，當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)分解為等式子的組合.由Abel第二定理：若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，只需求在內(nèi)的和函數(shù)，令，取極限，則.例 計(jì)算 解：由于而的收斂半徑為1，且在收斂，令，在等式兩端取極限，有 即 . .例 求級(jí)數(shù)的和. 解：令, 其收斂域?yàn)? 在收斂域內(nèi)逐項(xiàng)積分得其中, 于是 . 轉(zhuǎn)化為已知的特殊的冪級(jí)數(shù)求和 要點(diǎn)：這種方法的基本思想是: 將待求和的級(jí)數(shù)用一些已知級(jí)數(shù)來(lái)表示, 通過(guò)代入已知級(jí)數(shù)求得待求級(jí)數(shù)的和. 以下運(yùn)用例子來(lái)說(shuō)明該方法.例 求級(jí)數(shù)的和. 解:設(shè),將展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)得: 則 例 求. 解：原式可以用級(jí)數(shù)表示如下 .考慮級(jí)數(shù), 其收斂半徑為1, 故當(dāng)時(shí)收斂, 設(shè)其和函數(shù)為, 下面在區(qū)間內(nèi)求. 由于 ,所以 令, 即得.四 致謝 此刻開(kāi)始書(shū)寫(xiě)致謝，內(nèi)心可謂百味具雜，致謝寫(xiě)完，意味著大學(xué)生活即將告終！即便平時(shí)非常淡定的同學(xué)，我想此刻他們的心情亦波亦涌。我慶幸自己大學(xué)里學(xué)到了知識(shí)，我慶幸即將開(kāi)始新的人生旅程。但是，我也有種自古悲傷多別離得感觸！在沒(méi)有寫(xiě)論文之前，對(duì)寫(xiě)論文有種神秘的感覺(jué)，從來(lái)沒(méi)想象過(guò)會(huì)如此的復(fù)雜和繁瑣。好在有張敬和老師的鼎力相助，非常感謝張老師的技術(shù)和知識(shí)的協(xié)助，在本人的撰寫(xiě)過(guò)程中,從選題、編寫(xiě)提綱、資料收集、撰寫(xiě)、修改、最后定稿,指導(dǎo)老師都給予了具體的悉心指導(dǎo),付出了大量的心血。我想說(shuō)不僅僅是因?yàn)槲易约旱玫搅藦埨蠋煹膸椭完P(guān)懷，更為其他同學(xué)得到張老師的幫助，對(duì)張老師表示深深的感謝和崇高的敬意.于此同時(shí),論文的順利完成,同樣離不開(kāi)我們的全體成員，在我遇到問(wèn)題的時(shí)候有他們的感情支持，有他們的技術(shù)支持。在我疲憊的時(shí)候，他們帶我玩游戲，我表示順利的學(xué)會(huì)了英雄聯(lián)盟，哈哈哈！在此同樣感謝我那遠(yuǎn)在安慶的女朋友，古影。感謝她對(duì)我的監(jiān)督和感情的支持，她給了我動(dòng)力。在整個(gè)的論文寫(xiě)作中,其他各位老師、同學(xué)和朋友積極的幫助我查資料和提供有利于論文寫(xiě)作的建議和意見(jiàn),給予了許多啟示和幫助，在他們的幫助下,論文得以不斷的完善,！不能一一詳述，敬請(qǐng)?jiān)彛⊥瑯痈兄x這些年來(lái)培育我們的全院以及全校老師，雖然有些老師沒(méi)有給我直接的幫助，但是今天我可以寫(xiě)論文的積淀來(lái)自他們無(wú)聲的支持?；仡櫵哪陙?lái)的在校生活，老師的恩情不在相處多久，重要的是曾經(jīng)擁有。最后感謝保護(hù)，培育我四年的母校，認(rèn)識(shí)或者不認(rèn)識(shí)的校友，老師。有他們，我有了快樂(lè)，有他們，我對(duì)世界有了新認(rèn)識(shí)。我快樂(lè)的成長(zhǎng)在安工大的校園里。今天我即將離校，母校將永遠(yuǎn)烙印在我的心里。參考文獻(xiàn)[1]: 陳紀(jì)修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版，2004年10月第二版。[2]: 李正元，李永樂(lè)，袁蔭棠，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū)，國(guó)家行政學(xué)院出版社，2012年2月北京第3版[3]：；[4]：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006年6月16日.[5]：和珍珍，王超。無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法與技巧。（下月刊）。文章編號(hào)：1672 7894（2010）15 098 02。[6]：沈世云，鄧志穎，重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，中國(guó)，重慶，400065，科技信息，2012 年 第 27 期。[7]：安玉萍，無(wú)窮級(jí)數(shù)求和歸類在教學(xué)中的應(yīng)用，吉林建筑工程學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，長(zhǎng)春，130118， ，吉林建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)。[8]：[9]：Series (mathematics)[10]：Taylor series第 36 頁(yè) 共 43 頁(yè)