【正文】 分析：要尋求之和，只要將其部分和用已知級數(shù)部分和與已知數(shù)列表示出來. 解：因 ，則，于是 . 等差數(shù)列求和（首尾相加法） 等差級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公差，并運用公式可求和. ，其中為首項，為公差 證明： ① ， ② ①+②得： 因為等差級數(shù) 所以此證明可導(dǎo)出一個方法“首尾相加法”，此類型級數(shù)將級數(shù)各項逆置后與原級數(shù)四則運算由首尾各項四則運算的結(jié)果相同，便化為一簡易級數(shù)求和. 求.解： ， ，兩式相加得：，即： .故原級數(shù)的和 等比數(shù)列求和（錯位相減法） 等比級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公比并運用公式可求和.當(dāng)=1，；當(dāng)≠1，其中為首項，為公比. 證明：當(dāng)=1，易得，當(dāng)≠1， ① ， ② ，①②得 .可以導(dǎo)出一種方法“錯位相減”，此方法通常適用于等差與等比級數(shù)混合型，通過乘以等比級數(shù)公比，再與原級數(shù)四則運算后化為等差或等比級數(shù)求和. 計算.解： ① ， ② ，②①得： ，=3.故原級數(shù)的和 [5] 分組求和法 ① 此方法的原理：如果收斂，那么收斂，且，當(dāng)把級數(shù)分成兩個或多個（有限個）收斂級數(shù)的和時，注意一定要保證均收斂。② 用均收斂。 求無窮級數(shù)的和。 解：取 則 可見此方法關(guān)鍵之處在于數(shù)列的構(gòu)造選取。[6] 微分方程法法 構(gòu)造冪級數(shù)的和函數(shù)時，通過求導(dǎo)運算，得到滿足的微分方程，通過求解微分方程來求出和函數(shù)。 求 解：構(gòu)造冪級數(shù)，顯然其收斂域為，設(shè),于是得到一階線性微分方程 其通解為 [7] 利用遞推法求常數(shù)項級數(shù)的和 求級數(shù)的和，m為某自然數(shù) 分析：利用遞推法求出的表達式 解：因為所以 (*)把（*）中的m依次用代替得用依次乘上式，然后兩邊相加，得 故[8] 部分和子列 要點：先獲知級數(shù)收斂，再取級數(shù)部分和的某一子列，然后求出此子列的極限即得級數(shù)和。我們簡稱為部分和子列法。 求級數(shù)的和 解：由Lcibniz判別法知此級數(shù)是收斂的，即存在現(xiàn)在取部分和數(shù)列中足標(biāo)為偶數(shù)的子列因此 熟知公式： 其中，為著名的Eurler常數(shù)，利用這個公式得 所以，故值得指出的是部分和子列對非正項級數(shù)常常是行之有效的。 裂項相消法 要點：設(shè), , 則的部分和為 .若 , 則 .也就是說 的和為 .我們稱上述求級數(shù)和的方法為裂項相消法. 利用裂項相消法求級數(shù)的和, 關(guān)鍵是怎樣將級數(shù)的通項拆成前后有抵消部分的形式, 通常經(jīng)過變形, 有理化分子或分母, 三角函數(shù)恒等變形等處理可達到裂項相消的目的. 以下用具體例子來進行說明. 求無窮級數(shù)的和. 解：因為 , 所以 , 于是 .所以 . 如果一個級數(shù)的通項是一個三角函數(shù)式, 則可考慮利用三角函數(shù)公式, 將其化簡為兩式之差以便運用裂項相消法. 求級數(shù) 的和. 解：先考慮變換問題的數(shù)學(xué)形式, 由 ,聯(lián)想到正切的差角公式 , 再設(shè) , 則原級數(shù)的部分和為所以 .如果一個級數(shù)的通項是一個分母為若干根式之積的分式, 則可考慮將其分母或分子有理化以便運用裂項相消法.二 利用冪級數(shù)的知識求和 若收斂，則有=，將轉(zhuǎn)化成，對求有如下兩種常用方法：逐項微分求和，逐項積分求和。 ，若容易求和，則此方法好用，若，為n的多項式并且含有因子n更好求出. 由前面定理06可知：和號同求導(dǎo)運算可以交換, 它也稱為逐項微分的定理. 但要注意的是, 僅僅在條件“一致收斂”之下, 即使存在且連續(xù), 也不能保證和號同求導(dǎo)數(shù)號可以交換.例 求數(shù)項級數(shù)的和. 解：構(gòu)造冪級數(shù)，.設(shè)它的和函數(shù)是，即.由冪級數(shù)可逐項可導(dǎo)，有 ，有 .因為， .令，有 例 求級數(shù). 解：令 ,逐項求導(dǎo)得 ,所以 .因為級數(shù)在處收斂, 所以 ,即 . 逐項積分求和 ，當(dāng)為多項式時，應(yīng)分解為等式子的組合.由Abel第二定理：若冪級數(shù)的收斂半徑，只需求在內(nèi)的和函數(shù)，令，取極限，則.例 計算 解：由于而的收斂半徑為1，且在收斂，令，在等式兩端取極限，有 即 . .例 求級數(shù)的和. 解：令, 其收斂域為, 在收斂域內(nèi)逐項積分得其中, 于是 . 轉(zhuǎn)化為已知的特殊的冪級數(shù)求和 要點：這種方法的基本思想是: 將待求和的級數(shù)用一些已知級數(shù)來表示, 通過代入已知級數(shù)求得待求級數(shù)的和. 以下運用例子來說明該方法.例 求級數(shù)的和. 解:設(shè),將展開為泰勒級數(shù)得: 則 例 求. 解：原式可以用級數(shù)表示如下 .考慮級數(shù), 其收斂半徑為1, 故當(dāng)時收斂, 設(shè)其和函數(shù)為, 下面在區(qū)間內(nèi)求. 由于 ,所以 令, 即得.四 致謝 此刻開始書寫致謝，內(nèi)心可謂百味具雜，致謝寫完，意味著大學(xué)生活即將告終！即便平時非常淡定的同學(xué)，我想此刻他們的心情亦波亦涌。我慶幸自己大學(xué)里學(xué)到了知識，我慶幸即將開始新的人生旅程。但是，我也有種自古悲傷多別離得感觸！在沒有寫論文之前，對寫論文有種神秘的感覺，從來沒想象過會如此的復(fù)雜和繁瑣。好在有張敬和老師的鼎力相助，非常感謝張老師的技術(shù)和知識的協(xié)助，在本人的撰寫過程中,從選題、編寫提綱、資料收集、撰寫、修改、最后定稿,指導(dǎo)老師都給予了具體的悉心指導(dǎo),付出了大量的心血。我想說不僅僅是因為我自己得到了張老師的幫助和關(guān)懷，更為其他同學(xué)得到張老師的幫助，對張老師表示深深的感謝和崇高的敬意.于此同時,論文的順利完成,同樣離不開我們的全體成員，在我遇到問題的時候有他們的感情支持，有他們的技術(shù)支持。在我疲憊的時候，他們帶我玩游戲，我表示順利的學(xué)會了英雄聯(lián)盟，哈哈哈！在此同樣感謝我那遠在安慶的女朋友，古影。感謝她對我的監(jiān)督和感情的支持，她給了我動力。在整個的論文寫作中,其他各位老師、同學(xué)和朋友積極的幫助我查資料和提供有利于論文寫作的建議和意見,給予了許多啟示和幫助，在他們的幫助下,論文得以不斷的完善,！不能一一詳述，敬請原諒！同樣感謝這些年來培育我們的全院以及全校老師，雖然有些老師沒有給我直接的幫助，但是今天我可以寫論文的積淀來自他們無聲的支持?；仡櫵哪陙淼脑谛Ｉ?，老師的恩情不在相處多久，重要的是曾經(jīng)擁有。最后感謝保護，培育我四年的母校，認識或者不認識的校友，老師。有他們，我有了快樂，有他們，我對世界有了新認識。我快樂的成長在安工大的校園里。今天我即將離校，母校將永遠烙印在我的心里。參考文獻[1]: 陳紀修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版，2004年10月第二版。[2]: 李正元，李永樂，袁蔭棠，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書，國家行政學(xué)院出版社，2012年2月北京第3版[3]：；[4]：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006年6月16日.[5]：和珍珍，王超。無窮級數(shù)求和的方法與技巧。（下月刊）。文章編號：1672 7894（2010）15 098 02。[6]：沈世云，鄧志穎，重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，中國，重慶，400065，科技信息，2012 年 第 27 期。[7]：安玉萍，無窮級數(shù)求和歸類在教學(xué)中的應(yīng)用，吉林建筑工程學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，長春，130118， ，吉林建筑工程學(xué)院學(xué)報。[8]：[9]：Series (mathematics)[10]：Taylor series第 36 頁 共 43 頁