函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-06-18 23:47本頁(yè)面
【正文】 .因?yàn)榈谒捻?xiàng)的絕對(duì)值 ，所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值： ，算得 . 冪級(jí)數(shù)在計(jì)算積分中的應(yīng)用當(dāng)?shù)脑瘮?shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來(lái)時(shí)，,，要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級(jí)數(shù)，且積分區(qū)間必須在冪級(jí)數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)來(lái)計(jì)算所求積分的值.例11 證明： ．證明 因?yàn)? ，所以 =，． 冪級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用求函數(shù)極限的方法很多，冪級(jí)數(shù)法也是其中之一.例12 求的值.解 因?yàn)? ， ， 所以． 冪級(jí)數(shù)在數(shù)項(xiàng)求和中的應(yīng)用一致收斂的冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)：冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分，可用于計(jì)算冪級(jí)數(shù)的和（裴禮文，1983）[11].例13 求．解 當(dāng) 時(shí)，設(shè) =.設(shè)， 則 ，且 ,從而 ．當(dāng)時(shí)， ,此時(shí)，.令，可得 . 冪級(jí)數(shù)在歐拉公式推導(dǎo)中的應(yīng)用例14 試用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式來(lái)推導(dǎo)歐拉公式.解 當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式知,因?yàn)? 所以 ,即 , 在上式中以置換可得 , 再由兩式聯(lián)立，解得： . 冪級(jí)數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用例15 求在處的階導(dǎo)數(shù).解 因?yàn)楹瘮?shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)為，所以可先將用間接方法展成的冪級(jí)數(shù)，然后從的系數(shù)中解出，進(jìn)行兩次積分：則，即 . 冪級(jí)數(shù)在概率組合計(jì)算中的應(yīng)用定義6 設(shè)是一個(gè)數(shù)列，若存在一個(gè)函數(shù)，使得成立，則稱為數(shù)列的生成函數(shù).例16 將一顆骰子連續(xù)投擲10次，問(wèn)：出現(xiàn)20點(diǎn)的概率是多少？解 設(shè)表示共出現(xiàn)點(diǎn)的方式的總數(shù)，：,因?yàn)樗缘恼归_(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為,于是出現(xiàn)20點(diǎn)的概率為:. 冪級(jí)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用冪級(jí)數(shù)是表達(dá)函數(shù)的重要工具，因此也可應(yīng)用于證明不等式(張淑輝，2005)[12].例17 證明不等式.證明 因?yàn)? ,而 ，,由于 ，故 . 用冪級(jí)數(shù)形式表示某些非初等函數(shù)例18 求連續(xù)函數(shù)的原函數(shù).解 的原函數(shù)為，.，.令，有對(duì)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求積分，可得， 另外，我們要在實(shí)際應(yīng)用中善于發(fā)現(xiàn)，充分利用，以求最好的解決問(wèn)題. 總結(jié) 數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動(dòng)不僅擁有真理，而且擁有至高無(wú)上的美，18世紀(jì)是分析的時(shí)代，數(shù)學(xué)進(jìn)入到更高層次的研究，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的研究已經(jīng)有了非常豐富的研究資料，并且其應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣泛，在數(shù)學(xué)本身以及自然現(xiàn)象、工程技術(shù)，、給出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)、函數(shù)列及其一致收斂性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性，歸納梳理函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判定方法，以最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)——冪級(jí)數(shù)為例，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)作為數(shù)學(xué)分析中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，會(huì)在更多的領(lǐng)域擁有更廣泛的應(yīng)用，對(duì)其的研究也將更加的深入、透徹.參考文獻(xiàn)[1] （下冊(cè)）[M].上海:上海大學(xué)出版社,2001.[2] （下冊(cè)）[M].北京:高等教育出版社, 2001.[3] [J].銅陵學(xué)院學(xué)報(bào),2005,(2):75.[4] [J].陜西教育學(xué)院學(xué)報(bào),2003,19 (2):8687.[5] 劉慶升,翟永恒,[J].科技信息,2009,(9):531．[6] [J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,5(4):5556.[7] 吳良森,[M].北京:科學(xué)出版社,2002.[8] [蘇]（四）[M].費(fèi)定暉,:.[9] [J].前沿,2009,(8):282283.[10] （下冊(cè)）[M].北京:高等教育出版社,2002.[11] [M].北京:高等教育出版社,1993.[12] [J].太原教育學(xué)院學(xué)報(bào),2005,(23):9496.[13] of Mathematical Analysis[M].New York:SpringerVerlag,1964.[14] XU ’s Problem in a Special Normed Space[J].Northeast ,2004,(1):7983.21
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