淺談函數(shù)的一致連續(xù)性-資料下載頁
2025-05-16 06:25本頁面
【正文】 ，且，則在一致連續(xù)。證明：由知，有 。所以，，也有 。則。而是閉區(qū)間，所以在上一致連續(xù)。所以對上述，且，有 ，即 。若或,或，一定得出。綜上所述，在一致連續(xù)。對于5也可以改為在上連續(xù)，且，則在一致連續(xù)。證法類似，分別區(qū)間為，(，+)。則時，必同時在三個區(qū)間之一，所以在一致連續(xù)。證明 設(shè)是一個周期，因為在R上連續(xù)，且在上連續(xù)，所以一致連續(xù)。即，有 。：，存在整數(shù)，滿足，因為 ，所以 ，即 。所以是R上的一致連續(xù)函數(shù)。五、用連續(xù)模數(shù)描述一致連續(xù)性定義：若在區(qū)間上有定義，則稱為函數(shù)的連續(xù)模數(shù)。可見是關(guān)于的非負(fù)、不減函數(shù)。下面我們借助它來描述一致連續(xù)性。 從定義可以直接看出 因此Lipschitz連續(xù)一致連續(xù)。這就得到強(qiáng)度依次逆減的三個概念: Lipschitz連續(xù)一致連續(xù)連續(xù)。例題7. 若在區(qū)間上有定義，則在上一致連續(xù)的充要條件是。證明：（1）必要性。因在上一致連續(xù)，因此，當(dāng)時有。從而 ， 故時， 所以 。（2）充分性。由 知： 使得 ，故當(dāng) 有所以在上一致連續(xù)。注意：由此可得一致連續(xù)的觀察法。因為的值只與的圖形最陡的地方有關(guān)，若的圖形在某處無限變陡，使得（時），則非一致連續(xù)。若在某處最陡，但時，此處的變差，則一致連續(xù)。例如：，在處，圖形無限變陡時。因此在任何區(qū)間上都是非一致連續(xù)的。但在區(qū)間上，在點最陡，且（當(dāng)時）?？梢娫谏弦恢逻B續(xù)。六、一致連續(xù)函數(shù)的延拓問題前面的例題告訴我們，若在內(nèi)一致連續(xù)，則在端點處有有限極限，因此若將極限值分別作為在點的值，那么被延拓到閉區(qū)間上，且在上一致連續(xù)，下面我們將此推廣到一般的集合上。為此，我們首先把一致連續(xù)的概念，推廣到任意的集合上。定義：設(shè)函數(shù)在集合上有定義，若，，有 ，則稱函數(shù)在集合上一致連續(xù)。，則常數(shù)，使得 證明：對時，特別，…，由三角不等式得，時，完全類似，可得 式中 ， 注意：思考一致連續(xù)和有界函數(shù)的關(guān)系，有限區(qū)間上，一致連續(xù)有界；反之，連續(xù)+有界一致連續(xù)，如。無限區(qū)間上，一致連續(xù)和有界沒有關(guān)系。；便是兩個反例?？偨Y(jié)本文主要對閉區(qū)間上一致連續(xù)性函數(shù)的定理及性質(zhì)進(jìn)行了論證，給出定理及一些相關(guān)的性質(zhì)，從直觀上開辟了對閉區(qū)間上一致連續(xù)性函數(shù)所具有的獨特的性質(zhì)的理解，并運(yùn)用區(qū)間套定理，致密性定理，覆蓋定理以及歸結(jié)原則四種方法證明了一致連續(xù)性定理，充分體現(xiàn)了閉區(qū)間上一致連續(xù)性函數(shù)性質(zhì)的重要性，并對一致連續(xù)性函數(shù)與連續(xù)性函數(shù)的關(guān)系及其延拓進(jìn)行了詮釋，從而使一致連續(xù)性函數(shù)乃至整個數(shù)學(xué)分析建立在堅實的基礎(chǔ)上。參考文獻(xiàn)：…………………[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編：《數(shù)學(xué)分析（上冊）》，北京，高等教育出版社，1991[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編：《數(shù)學(xué)分析》，上海，高等教育出版社，1985[3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院彭立中、潭小江編：《數(shù)學(xué)分析》，北京，高等教育出版社，2005[4] 裴里文.《數(shù)學(xué)分析中的典型問題和方法》，北京：高等教育出版社,2006.[5] 鄒慧超. 一般區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 煙臺師范學(xué)院學(xué)報, 2002.[6] 冉凱 ,暢文薔. 關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的幾個方法, 西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報,2002.[7] 祝麗萍, 昌吉學(xué)院學(xué)報,2005.[8] , 黔東南民族師范高等專科學(xué)校學(xué)報,2004.[9] 汪義瑞, 李本慶. 一致連續(xù)函數(shù)的判定. 安康師學(xué)報, 2003.[10] 胡適耕、張顯文編著：《數(shù)學(xué)分析原理與方法》，北京，科學(xué)出版社，2008。[11] 楊傳林編著：《數(shù)學(xué)分析解題思想與方法》，浙江，浙江大學(xué)出版社，2008.[12] 錢吉林等主編：《數(shù)學(xué)分析習(xí)題精萃》，武漢，崇文書局，2009.
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1