第二節(jié)可測函數(shù)的收斂性-資料下載頁
2025-07-20 20:27本頁面
【正文】 , , ] |[| ?? eENn ff n ?? ?? , ] |[| ??? ???? memE ff n. Eff n 于所以 ?證明： 注 : 定理 3表明幾乎一致收斂比依測度收斂強(qiáng) ?3. 幾乎處處收斂與依測度收斂的關(guān)系 ... },{ }{ , nEeaffffEffjjnnn于使得的子序列則存在于若??定理 4： (黎斯 (Riesz)定理 ) 注 : 黎斯定理只是說明依測度收斂的函數(shù)列存在幾乎處處收斂的子函數(shù)列，并不能保證整個函數(shù)列幾乎處處收斂，而且我們完全可以找到一個依測度收斂但不是幾乎處處收斂的函數(shù)列 . 如教材 P92 Riesz定理的證明 證明： 1 121[ | | ] 2, , 0 , , kn kn k k fff f E k N n N E ???? ? ? ? ? ? ?由 于 可 知 有 m( *)0)(lim ]|[| ?? ?????? ?ffNkNknEm從而Eeaff kn 于故 ..?對 Riesz定理證明 的說明：其實從 證明中的 (*)式我們可看出 Euaff kn 于..?1 121[ | | ] 2 ( 1 , 2 , 3 , )kn kkffm E k??? ??從而可取得 n1 n2 n3… n k… ，使得 NkkknkknknNkffNkffNkffNkEmEmEm2121]|[|]|[|]|[|12121)()()(????????????????????????時當(dāng) ??N21故對任意 ε0， ,有 定理 5：（ Lebesgue定理） Eeaff n 于若 ..? Eff n 于，則 ? , ???mE設(shè)證明： 由定理 2和定理 3即得 Eff n 于 ? Euaff n 于..?Eeaff n 于..? ???mE(Egoroff定理 ) 存在幾乎一致收斂的子列 ???mE(Lebesgue定理 ) (Riesz定理 ) 總結(jié)：三種收斂之間的關(guān)系，可以列出圖表如下：
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