jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的收斂性-資料下載頁(yè)
2025-07-17 15:04本頁(yè)面
【正文】 21 ?? Tnxxxx ? 若 由 Ax=0的第 k個(gè)方程有 ,021 ???? nxxx ?.,2,1,1nkaankjjkjkk ??? ???這與 A 的弱對(duì)角占優(yōu)性相矛盾。 第五章線性方程組迭代解法 若 不全相等，記 顯然 J 非空， J 的補(bǔ)集也非空。若有 和 ，使得 ，則由 得知 ),2,1( nix i ?? ? ?,2,1,: nixxkJ ik ????Jk? Jm? 0?kma 1/ ?km xx.,1,1????????nkjjkjkjnkjjkjkk axxaa這與 A 的弱對(duì)角占優(yōu)性相矛盾，因此 .,0 JmJka km ?????這又導(dǎo)致與 A 的不可約性相矛盾。 故在以上兩種情況下，齊次方程組 Ax=0 只有零解，所以 A 非奇異， 定理得證。 第五章線性方程組迭代解法 以上兩個(gè)定理說明，若 A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約弱對(duì)角占優(yōu)陣，則 J 法和GS法都可以計(jì)算。在這種情況下迭代法的收斂性有如下定理。 定理 若 A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，或不可約的弱對(duì)角占優(yōu)矩陣，則解方程組 的 J 法和 GS法均收斂。 bAx? 設(shè) ，這里只給出 A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣時(shí)的證明。 ULDA ??? 對(duì) J法，迭代矩陣 ，易得 )(1 ULDBJ ?? ??????? ?ijj iiijniJ aaB,11m ax 。 由 A的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)性，得到 ，所以 J 法收斂。 1??JB 對(duì) GS法，迭代矩陣 ，這里 。 ULDB GS 1)( ??? 0)d e t(111 ??? ???? niiiaLD由于 ))(d e t ()d e t ( 1????? LDIBI GS ??))(d e t ()d e t ( 1 ULDLD ???? ? ?我們只需要證明 的根 ，滿足 。 0))(de t ( ??? ULD? ? 1??證 第五章線性方程組迭代解法 用反證法，假設(shè) ，則由 A的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)性有 1??????nijjijii aa,1??????????nijijijij aa111? ， ni ,2,1 ?? 。 這說明矩陣 ?????????????????nnnnnnaaaaaaaaaULD????????????????212222111211)(第五章線性方程組迭代解法 由定理 5. 6的證明可見，矩陣 A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)等價(jià)于 。因此，由定理 5. 6又可知，若 ，則相應(yīng)的 GS法也收斂。 1??JB1??JB 由例 5. 1所給的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，由例 5. 3所給的系數(shù)矩陣是不可約弱對(duì)角占優(yōu)的，所以，用 J法和 GS法解對(duì)應(yīng)的方程組都收斂。 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，因此 。這說明只有當(dāng) 時(shí)，才能使 。從而有 ，GS法收斂，定理得證。 0))(de t ( ??? ULD?1?? ? ?? ? 0d e t ??? ULD? 1)( ?GS
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