jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的收斂性-閱讀頁
2025-08-01 15:04本頁面
【正文】 和 GSB第五章線性方程組迭代解法 譜半徑 以及 都是不容易的。 )( JB? )( GSB?定義 若 滿足 nnij RaA ??? )(,2,1,1niaanijjijii ??? ???則稱 A 為 嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 。 定義 設(shè) ，若存在一個排列陣 P ，使得 nnRA ??,0221211 ?????????AAAAPP T （ ） 第五章線性方程組迭代解法 其中 和 均為方陣，則稱 A 為 可約的 。 11A 12A如下矩陣 A 是可約的， B 是不可約的： .4114114114,3020412330102135???????????????????????????????????? BA因為，對于矩陣 A 有 .3200310042132315,101101?????????????????????????????? APPP T第五章線性方程組迭代解法 而對于矩陣 B ，不存在一個排列陣使（ ）成立。 )( ijaA? ,2,1,0 nia ii ??? 證 由嚴(yán)格占優(yōu)矩陣的定義可知 若 A 奇異，則 有 使 Ax=0。 第五章線性方程組迭代解法 定理 若 為不可約弱對角占優(yōu)陣，則 且 A 非奇異。交換 A 的第 k行和第 n行，并交換 A 的第 k列和第 n列，就得到 （ ）的形式，這與 A 的不可約性質(zhì)矛盾，故 0?kka.,2,1,0 nia ii ??? 如果 A 是奇異的，則存在 使 Ax=0，下面分兩 種情況考慮。 第五章線性方程組迭代解法 若 不全相等，記 顯然 J 非空， J 的補集也非空。 故在以上兩種情況下，齊次方程組 Ax=0 只有零解，所以 A 非奇異， 定理得證。在這種情況下迭代法的收斂性有如下定理。 bAx? 設(shè) ，這里只給出 A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣時的證明。 由 A的嚴(yán)格對角占優(yōu)性，得到 ，所以 J 法收斂。 ULDB GS 1)( ??? 0)d e t(111 ??? ???? niiiaLD由于 ))(d e t ()d e t ( 1????? LDIBI GS ??))(d e t ()d e t ( 1 ULDLD ???? ? ?我們只需要證明 的根 ，滿足 。 這說明矩陣 ?????????????????nnnnnnaaaaaaaaaULD????????????????212222111211)(第五章線性方程組迭代解法 由定理 5. 6的證明可見，矩陣 A嚴(yán)格對角占優(yōu)等價于 。 1??JB1??JB 由例 5. 1所給的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，由例 5. 3所給的系數(shù)矩陣是不可約弱對角占優(yōu)的，所以，用 J法和 GS法解對應(yīng)的方程組都收斂。這說明只有當(dāng) 時，才能使 。 0))(de t ( ??? ULD?1?? ? ?? ? 0d e t ??? ULD? 1)( ?GSB?
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