數(shù)值分析32迭代加速、牛頓法及弦截法-資料下載頁
2025-08-05 06:42本頁面
【正文】 0，所取的初值 x0, x1?△ ，那么當(dāng)鄰域 △ 充分小時(shí)，弦截法 ()將按階 .61 51 ???p收斂到 x*. 這里 p是方程 λ2λ1=0的正根 . 定理證明可見 P116. 因?yàn)?()式用到前兩點(diǎn) xk1和 xk的值，故此方法又稱為 雙點(diǎn)割線法 . ).()()( )( 0001 xxxfxfxfxxkkkk ?????每步只用一個(gè)新點(diǎn) xk的值，此方法稱為 單點(diǎn)割線法 . 如果把 ()式中的 xk1改為 x0，即迭代公式為 例 4 用牛頓迭代法和割線法求方程 f(x)=x4+2x2–x–3=0， 在區(qū)間 (1, )內(nèi)之根 (誤差為 109). 解 取 x0=，用牛頓法 , 可得 x6=； 取 x0=, x1=1，用 雙點(diǎn)割線法 ，迭代 6次得到同樣的結(jié)果，而采用 單點(diǎn)割線法 ，則迭代 18次得x18=. * 拋物線法 設(shè)已知方程 f(x)=0的三個(gè)近似根 xk, xk1, xk2，我們以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造 二次插值多項(xiàng)式 p2(x)，并適當(dāng)選取 p2(x) 的一個(gè)零點(diǎn) xk+1 作為新的近似根，這樣確定的迭代過程稱為 拋物線法 ，亦稱為 密勒 (M252。ller)法 . 在幾何圖形上 , 這種方法的基本思想是用拋物線y=p2(x)與 x 軸的交點(diǎn) xk+1 作為所求根 x* 的近似位置 . O x* xk+1 xk y=P2(x) xk2 y x y=f(x) xk1 拋物線法的 幾何意義 見下面圖形 . 現(xiàn)在推導(dǎo)拋物線法的計(jì)算公式 . 插值多項(xiàng)式 ).)(](,[)](,[)()(12112??????????kkkkkkkkkxxxxxxxfxxxxfxfxp有兩個(gè)零點(diǎn) ).](,[],[ 1211 ???? ??? kkkkkkk xxxxxfxxf?)(.],[)(4)(22121??? ????kkkkkkk xxxfxfxfxx??式中 因子在 ()式定出一個(gè)值 xk+1，我們需要討論根式前正負(fù)號(hào)的取舍問題 . 在 xk, xk1, xk2三個(gè)近似值中，自然假定 xk更接近所求的根 x*，這時(shí)，為了保證精度，我們選 ()式中接近 xk的一個(gè)值作為新的近似根 xk+1. 為此，只要取根式前的符號(hào)與 ω的符號(hào)相同 . 例 5 用拋物線法求解方程 f(x)=xex1=0. 解 取 x0=, x1=, x2=，計(jì)算得 f(x0)=, f(x1)=, f(x2)=. f[x1,x0]=, f[x2,x1]=, f[x2,x1,x0]=. 故 .7 5 6 9 )](,[],[ 1202212 ???? xxxxxfxxf?代入 ()式求得 .],[)(4)(201222223 ????? xxxfxfxfxx?? 以上計(jì)算表明，拋物線法比弦截法收斂更快 . 在一定條件下可以證明 , 對于拋物線法，迭代誤差有下列漸近關(guān)系式 .)(6)(8 4 1????????xfxfeekk由此式可見拋物線法也是超線性收斂的，其收斂的階是 p=(是方程 λ3λ2λ1=0的根 )，收斂速度比弦截法更接近于牛頓法 . 從 ()式看到，即使 xk, xk1, xk2 均為實(shí)數(shù)， xk+1也可以是復(fù)數(shù)，所以拋物線法適用于 求多項(xiàng)式的實(shí)根和復(fù)根 .
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1