【正文】 a a a c? ? ???? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?( 1, 2 , , )in?02???( ) 1L?? ? L?12, , , n? ? ?12d e t ( ) [ ( ) ] nnLL??? ? ? ??? 1/d e t( ) ( ) 1nLL????? 迭代法的收斂性 另一方面 從而 ，即 。 定理 9：設(shè) ，如果： (1) 為對稱正定矩陣， (2) 則解 的 SOR迭代法收斂。 證明：我們只需在上述假設(shè)下，證明 即可。 事實上，設(shè) 為對應(yīng)于 的特征向量，即 亦即： 為了找到 的表達式，考慮數(shù)量積 1d e t ( ) d e t [ ( ) ] d e t ( ( 1 ) ) ( 1 ) nL D L D U? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?1/d e t( ) 1 1nL ? ?? ? ?02???Ax b?A02???Ax b?1? ??y12, ( , , , ) 0TnL y y y y y y? ?? ? ?1( ) ( ( 1 ) )D L D U y y? ? ? ??? ? ? ?( ( 1 ) ) ( )D U y D L y? ? ? ?? ? ? ??( ( ( 1 ) ) , ) ( ( ) , )D U y y D L y y? ? ? ?? ? ? ? 迭代法的收斂性 則 顯然 記： 由于 ，所以 ，故 所以 從而 ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )D y y D y y U y yD y y Ly y????????21( , ) 0nii iiD y y a y ??? ? ??( , )L y y i??? ? ?TAA? TUL?( , ) ( , ) ( , )U y y y L y L y y i??? ? ? ? ? ? ?0 ( , ) ( ( ) , ) 2A y y D L U y y ??? ? ? ? ? ?()()ii? ? ? ?? ? ??? ?? ? ?? ? ????2 2 222 2 2()()? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ???? 迭代法的收斂性 當 時，有 即 的任一特征值滿足 ，故 SOR方法收斂 (注意 當 時，可以證明 ) 定理 10：設(shè) ，如果： (1) 為嚴格對角占優(yōu)矩陣 (或不可約弱對角占優(yōu)矩陣 ) (2) 則解 的 SOR迭代法收斂。（證明略） 02???22( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?L? 1? ?02??? 2 2 2( 2 ) 0? ? ? ?? ? ?A01???Ax b?Ax b? 迭代法的收斂性 ? 迭代法的收斂速度 我們已經(jīng)知道，如果 且 越小時，迭代法 收斂越快，現(xiàn)考慮方程組 及一階定常迭代法 且設(shè)迭代法收斂，記 ，則 。 由基本定理有 ，且誤差向量 滿足 ，故 現(xiàn)設(shè) 為對稱矩陣，則有 ( ) 1B? ? ()B?, nnx B x f B R ?? ? ?( 1 ) ( ) , ( 0 , 1 , )kkx B x f k? ? ? ?( ) *lim kk xx?? ?**x B x f??0 ( ) 1B??? ( ) ( ) *kkxx? ??( ) ( 0 )kkB??? ( ) ( 0 )kk B???B ? ?( ) ( 0 ) ( 0 )22 2 2()kkk BB? ? ? ??? 迭代法的收斂性 下面確定欲使初始誤差縮小 所需的迭代次數(shù)，即使 取對數(shù)，得到所需最少迭代次數(shù)為： 故所需迭代次數(shù)與 成反比， 越小， 越大，從而所需迭代次數(shù)越少，收斂越快 定義 5：稱 為迭代法的漸進收斂速 度，簡稱收斂速度。 對于 SOR迭代法來說，希望通過 的選擇使得收 斂速度較快，但具體計算時，并非都可實現(xiàn)。 10s?? ?( ) 1 0k sB? ??ln 1 0ln ( )skB?? ?ln ( )RB??? ( ) 1B? ?ln ( )RB???( ) l n ( )R B B???? 迭代法的收斂性 ? SOR迭代法的算法 設(shè) ，其中 為對稱正定矩陣或為嚴格對角占 優(yōu)或為不可約弱對角占優(yōu)，本算法用 SOR迭代法求解 ，數(shù)組 存放 及 ，用 控制 迭代終止，用 表示最大迭代次數(shù)。 1. 2. 3. 4. 5. 對于 (1) (2) 如果 ，則 (3) 6. 輸出 7. 如果 ，則輸出 停止； 8. 如果 ，則轉(zhuǎn) 3； 9. 輸出 及有關(guān)信息。 Ax b? AAx b? ()xn (0)x *x0 1m a x iinp x e p s?? ??0N0,k ? 0 . 0 ( 1 , 2 , , ) ,ix i n?? 1,kk??1, 2 , ,in?11* ( )ini i i j j i j j i ij j ip x b a x a x a????? ? ? ? ???0pp? 0pp? iix x p??0p0p eps? , , ,kx?0kN?0N0 0. 0p ? 分塊迭代法 前面討論的迭代法，從 的計算過程，是逐 個計算 的分量 ，因此這種方法又被 稱為點迭代法?，F(xiàn)在介紹分塊迭代法，就是一組未知 量同時被改進。 設(shè) ，其中 為大型稀疏矩陣且將 分塊 為三個部分 ，其中 ( ) ( 1 )kkxx ??( 1 ) ( 1 , 2 , , )kix i n? ?( 1)kx ?Ax b? nnAR?? AA D L U? ? ? 1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2 2 212,qqq q q q q qA A A AA A A AADA A A A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 121 2120 00 0,0 0qqqqAAA ALUAA???? ???? ??? ????? ???? ???? 分塊迭代法 其中 為 非奇異矩陣， ，對 及 同樣分塊 其中， 在上述定義的基礎(chǔ)上，我們來討論分塊迭代法。 (1) 塊 Jacobi迭代法 (BJ) 選取分裂矩陣 為 的對角塊部分，即選取 ( 1 , 2 , , )iiA i q? iinn?1qiinn??? xb 1122,qqxbxbxbxb? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,iinniix R b R??M A(MDA M N??????塊 對 角 陣 ） 分塊迭代法 于是，得到塊 Jacobi迭代法 其中迭代矩陣 ，或 由分塊矩陣乘法，得到塊 Jacobi迭代法的具體形式： 其中： 這說明，塊 Jacobi迭代法每迭代一步需要求解 個低 階方程組 ( 1 ) ( )kkx B x f? ??1 1 1( ) ,B I D A D L U J f D b? ? ?? ? ? ? ? ?( 1 ) ( )()kkD x L U x b? ? ? ?( 1 ) ( )1( ) ( 1 , 2 , , )qkki i i i i j j ijjiA x b A x g i q???? ? ? ??()1()2( ) ( )(), ikknkkikqxxx x Rx????????????????q( 1 ) ( 1 , 2 , )ki i i iA x g i q? ?? 分塊迭代法 (2) 塊 SOR迭代法 (BSOR) 選取分裂矩陣 為帶松弛因子的 塊下三角部分， 即： 得到塊 SOR迭代法 其中迭代矩陣 由分塊矩陣乘法得到塊 SOR迭代法的具體形式： 于是，可通過解一組低階的方程組來代替原來的解。 1()M D LA M N??? ????? ???M A( 1 ) ( )kkx L x f?? ??11( ) ( ) ( ( 1 ) )L I D L A D L D U? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?1()f D L b?? ???1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1( ) ( 1 , 2 , , 。 0 , 1 , )qik k k ki i i i i i i i j j i j jj j iA x A x b A x A x i q k??????? ? ? ? ? ??? 分塊迭代法 定理：設(shè) ，其中 (1) 如果 為對稱正定矩陣； (2) 則解 的塊 SOR迭代法收斂。 Ax b? A D L U? ? ?A02???Ax b?