函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及其應(yīng)用-文庫吧
2025-06-03 23:47 本頁面
【正文】 …15 冪級數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用………………………………………………………16 冪級數(shù)在歐拉公式推導(dǎo)中的應(yīng)用…………………………………………………16 冪級數(shù)在求導(dǎo)中的應(yīng)用……………………………………………………………17 冪級數(shù)在概率組合中的應(yīng)用………………………………………………………17 冪級數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用……………………………………………………18 用冪級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù)………………………………………………185 總結(jié)……………………………………………………………………………………………………19致謝………………………………………………………………………………………………………20參考文獻…………………………………………………………………………………………………211 引言隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對自然界的認識逐步深化，發(fā)現(xiàn)許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)運用初等函數(shù)已經(jīng)滿足不了人們的需要，隨著人們對其深入研究，，例如，函數(shù)項級數(shù)理論提供了研究函數(shù)的一個基本方法，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性理論對近代各種函數(shù)逼近理論以及無窮維空間中元素按基底的展開理論都產(chǎn)生了重大的影響(朱正佑,2001)[1].函數(shù)項級數(shù)在數(shù)學(xué)科學(xué)本身及工程技術(shù)領(lǐng)域里有廣泛的應(yīng)用,函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性在應(yīng)用中起著至關(guān)重要的作用,、對函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判定方法進行梳理、歸納，并舉例說明，并且以一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)——冪級數(shù)為例，對其在計算方面的應(yīng)用進行舉例說明.2 函數(shù)項級數(shù)的相關(guān)概念介紹 函數(shù)列及其一致收斂性定義1 設(shè) 是一列定義在同一數(shù)集上的函數(shù)，稱為定義在上的函數(shù)列，也可簡單的寫作：或，.設(shè)，以代入可得數(shù)列 若數(shù)列收斂，則稱函數(shù)列在點收斂，，都有數(shù)列的一個極限值與之相對應(yīng)，由這個對應(yīng)法則所確定的上的函數(shù)，則有 ，或 ，. 使函數(shù)列收斂的全體收斂點集合，稱為函數(shù)列的收斂域.定義2 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集上，若對任給的正數(shù)，總存在某一正整數(shù)，使得當時，對一切，都有 ，則稱函數(shù)列在上一致收斂于，記作 , . 注：本文用“”表示一致收斂.由定義看到，如果函數(shù)列在上一致收斂，那么對于所給的，不管上哪一點，總存在公共的（即的選取僅與有關(guān)，與的取值無關(guān)），只要，都有 .由此可以看到函數(shù)列在上一致收斂，在上每一點都收斂的函數(shù)列，在上不一定一致收斂. 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性定義3 設(shè){}是定義在數(shù)集上的一個函數(shù)列，表達式 ++…++…， （1）稱為定義在上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為 或。稱，為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列。若，數(shù)項級數(shù) （2）收斂，即部分和當時極限存在，則稱級數(shù)（1）在點收斂，稱為級數(shù)（1）的收斂點．若級數(shù)（2）發(fā)散，則稱級數(shù)（1）（1）在的某個子集上每點都收斂，則稱級數(shù)（1）在上收斂．若為級數(shù)（1）全體收斂點的集合，這時則稱為級數(shù)（1）的收斂域．級數(shù)（1）在上每一點與其所對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)（2）的和構(gòu)成一個定義在上的函數(shù)，稱為級數(shù)（1）的和函數(shù)，并寫作 ，,即 ，． 也就是說，函數(shù)項級數(shù)（1）的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列的收斂性．定義4 設(shè){}是函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列．若{}在數(shù)集上一致收斂于函數(shù),則稱函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于函數(shù)，或稱在上一致收斂(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，2001)[2]. 一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 定理1 （連續(xù)性）若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其和函數(shù)在上也連續(xù).它指出：（無限項）求和運算與求極限運算可以交換順序，即 .定理2 (逐項求積)若函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則 .此定理指出，函數(shù)項級數(shù)在一致收斂的情況下，求和運算與求積分運算可以交換順序.定理3 (逐項求導(dǎo))若函數(shù)項級數(shù)在上每一項都有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，為的收斂點，且在上一致收斂，則
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