函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-15 23:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 .此定理指出，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂的情況下，求和運(yùn)算與微分運(yùn)算可以交換順序(陶桂秀，2005)[3].3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 一般方法判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂既是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn),證明一致收斂會(huì)利用一致收斂的定義，即定義4來(lái)證明.定義4的條件太強(qiáng)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)固定一點(diǎn),利用數(shù)列的性質(zhì)得到以下定理：定理4 （一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂的充要條件為：對(duì)任給的正數(shù)，總存在某正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切正整數(shù)，都有 或 .此定理中當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的必要條件.推論 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂的必要條件為：函數(shù)列在上一致收斂于零.設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的和函數(shù)為，稱 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng).定理5 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是： .證明 必要性 因?yàn)樵趨^(qū)間上一致收斂,所以，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切,都有，即，所以，所以.充分性 設(shè)在上不一致收斂,即，,，使得，即，(李嵐，2003)[4]. 例1 若在上可積，且與在上都可積，設(shè)，則在上一致收斂于.證明 ()，所以利用定理1,當(dāng)時(shí)，一致收斂于.例2 設(shè)，在上連續(xù)，又在收斂于連續(xù)函數(shù)，則在一致收斂于.證明 已知（其中）是單調(diào)遞減且趨于0，所以，有，且，時(shí)，令，因?yàn)樵谏线B續(xù),既然，所以，.如上所述,對(duì)每個(gè)點(diǎn)，可找到相應(yīng)的鄰域及相應(yīng)的,使得時(shí)，對(duì)恒有. 如此構(gòu)成的一個(gè)開(kāi)覆蓋,，于是，總，使得當(dāng)時(shí)，取，那么當(dāng)時(shí)，恒有.由定理2得，在一致收斂于. 魏爾斯特拉斯判別法判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性除了定義及定理4外，有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的特性來(lái)判別.定理6 (魏爾斯特拉斯判別法)設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集上，為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切，有 ， （3）則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西準(zhǔn)則，任給正數(shù)，存在某正整數(shù)，使得當(dāng)及任何正整數(shù)，有 .又由（3）式對(duì)一切有 .根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在上一致收斂. 例3 判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的一致收斂性.證明 因?yàn)閷?duì)一切有 ，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的，所以根據(jù)魏爾斯特拉斯判別法知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上是一致收斂的.（3）時(shí)，則稱級(jí)數(shù)在上優(yōu)于級(jí)數(shù)，或稱為的優(yōu)級(jí)數(shù). 阿貝爾判別法與狄利克雷判別法下面討論定義在區(qū)間上形如 （4）的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法，它與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，也是基于阿貝爾分部求和公式. 阿貝爾判別法定理7 （阿貝爾判別法）設(shè)（?。┰趨^(qū)間上一致收斂；（ⅱ）對(duì)于每一個(gè),是單調(diào)的；（ⅲ）在上一致有界，即對(duì)一切和正整數(shù),存在正數(shù)，使得 .則形如的級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由（?。谓o，存在某正整數(shù)，使得當(dāng)及任何正整數(shù)，對(duì)一切，有 又由（?。áⅲ┘鞍⒇悹栆淼玫? .于是根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則就得到本定理的結(jié)論.例4 判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，的一致收斂性.證明 記 ，,因?yàn)槭鞘諗康臄?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從而在上一致收斂.又因?yàn)槊總€(gè)，單調(diào)，且在上一致有界，于是由阿貝爾判別法易知級(jí)數(shù)（4）在上一致收斂(劉慶生，2009；翟永恒，2009；劉桂仙，2009)[5]. 狄利克雷判別法定理8 （狄利克雷判別法）設(shè)（?。┑牟糠趾秃瘮?shù)列 ，（n=1，2，…）在上一致有界；（ⅱ）對(duì)于每一個(gè)，是單調(diào)的；（ⅲ）在上，則形如的級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由（?。?，存在正數(shù)，對(duì)一切， .對(duì)任何一個(gè)，再由（ⅱ）及阿貝爾引理，得到 .再由（ⅲ），對(duì)任給的，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，有 ，所以， .于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)（4）在上一致收斂.例5 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在上一致收斂.證明 因?yàn)橛洠瑫r(shí)，一致收斂,
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