【文章內(nèi)容簡介】 就找一個適當(dāng)?shù)氖諗考墧?shù)來比較,使得原級數(shù)的各項小于或等于比較級數(shù)的對應(yīng)項。如果猜想原級數(shù)發(fā)散,就找一個適當(dāng)?shù)陌l(fā)散級數(shù)來比較,使得原級數(shù)的各項大于或等于比較級數(shù)的對應(yīng)項. 但要另外找到一個適當(dāng)?shù)恼椉墧?shù)作為比較級數(shù),不必另找比較級數(shù),——.判別法02：柯西判別法 [4] 設(shè)有正項級數(shù),存在常數(shù).① 若,不等式 成立,則級數(shù)收斂。② 若對一切,不等式 成立,則級數(shù)發(fā)散. 證明 ①已知有 或 .又已知幾何級數(shù)收斂,于是級數(shù)收斂. ② 已知存在無限個n,有 或 ,即不趨近于,于是級數(shù)發(fā)散.判別法02+：柯西判別法的極限形式 [4] 正項級數(shù),若 ,則① 當(dāng)時,級數(shù)收斂。② 當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散. 證明： ① ，由數(shù)列極限定義,有 或 ,根據(jù)判別法02：柯西判別法可以得到級數(shù)收斂. ② 已知,根據(jù)數(shù)列極限的保號性,有,根據(jù)判別法02：柯西判別法可以得到級數(shù)發(fā)散.注：多數(shù)情況下正項級數(shù)的通項開n次方根不會直接得出一個常數(shù),或者計算復(fù)雜，所以通常情況下使用柯西判別法的極限形式判別級數(shù)的斂散性.判別法03：達朗貝爾判別法 [4] 設(shè)正項級數(shù),存在常數(shù).① 若,有 ,則級數(shù)收斂。② 若,有 ,則級數(shù)發(fā)散. 證明: ① 不妨設(shè),有 或 . 已知幾何級數(shù)收斂,根據(jù)判別法01：比較判別法,則級數(shù)收斂. ② 已知,有 或 ，即正項數(shù)列從項以后單調(diào)增加,不趨近于,則級數(shù)發(fā)散.判別法03+：達朗貝爾判別法 [4] 設(shè)有正項級數(shù),且① 當(dāng)時,級數(shù)收斂。② 當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散. 證明： ① ,由數(shù)列極限定義,有 或 ,根據(jù)判別法03：達朗貝爾判別法,級數(shù)收斂.② 已知,根據(jù)數(shù)列極限的保號性,：達朗貝爾判別法,級數(shù)發(fā)散.注：在柯西判別法和達朗貝爾判別法中只討論了的情況,并沒有考慮的情況,也沒有考慮l不存在又是怎樣的情況, [1]設(shè)正項級數(shù)，那么有： 證明： 設(shè) ，由上下極限的知識我們可知，對任意給定的，存在正整數(shù)N，使得對一切 ，成立 于是，從而 ，由的任意性，即得到 類似的可以證明： ≦ 。該引理告訴我們：若一個正級數(shù)的斂散情況可以由達朗貝爾判別法判定，那么他也一定能用柯西判別法判定。但是，能用柯西判別法判定的級數(shù)，卻未必能用達朗貝爾判別法判定。這就是說柯西判別法的適用范圍比達朗貝爾判別法判別范圍廣。但是對某些具體例子而言，兩種判別法都適用，而達朗貝爾判別法比柯西判別法更方便一些，讀者應(yīng)根據(jù)級數(shù)的具體情況來選擇合適的判別法。注：達朗貝爾判別法判與柯西判別法的本質(zhì)都是比較判別法，與之相比較的是幾何級數(shù)：把所有要判斷的級數(shù)與某一幾何級數(shù)相比較的想法而得到的,也就是說,只有那些級數(shù)的通項收斂于零的速度比某一等比級數(shù)收斂速度快的級數(shù),，要求級數(shù)的通項受到（0 r 1）的控制；而在判定級數(shù)發(fā)散時，則是根據(jù)其一般項不趨于零，由于兩者相去甚遠，因此判別法在許多情況下會失效，即便對這樣簡單的級數(shù)，他們都無能為力。因此為了獲得判別范圍更大的一類級數(shù), p級數(shù)代替幾何級數(shù),仿照比值判別法建立了一個拉貝判別法,它比比值判別法要精確,有些比值判別法不能判別的用拉貝判別法可以判別. 下面我們將一起探討的判別法：拉貝判別法將在一定程度上彌補上述的局限性判別法04：拉貝判別法 [4] 設(shè)有正項級數(shù),存在常數(shù).① 若,有,則級數(shù)收斂；② 若,有,則級數(shù)發(fā)散. 證明：① ,因此,存在正數(shù),使對任意,.這樣 .于是,當(dāng)時就有 當(dāng)時,級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂. ② 由可得,于是 .因為發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散. 注：雖然拉貝判別法有時可以處理達朗貝爾判別法失效（即出現(xiàn)的情況）的級數(shù)，但當(dāng)?shù)那闆r出現(xiàn)時拉貝判別法依然失效，即級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。事實上，還可以建立比拉貝判別法更有效的判別法，比如Bertrand 判別法：設(shè)，則當(dāng)時級數(shù)收斂；當(dāng)時級數(shù)發(fā)散，但是當(dāng)時魔鬼再一次出現(xiàn)：判別法又失效了因為杜布洼雷知恩曾證明:任何收斂的正項級數(shù),都有比它收斂得更“快”:任何發(fā)散的正項級數(shù)也有比它發(fā)散得更“慢”,也沒用發(fā)散的最慢的級數(shù),（即逐次建立更有效的判別法的過程）是無限的，雖然每次都能得到新的，適用范圍更廣的判別法，但是這些判別法的證明也變得更加復(fù)雜。至此我覺得再繼續(xù)研究下去沒有意義,這里就不再進一步介紹了。下面我們來探討一下積分判別法。判別法05：積分判別法 設(shè)為上非負減函數(shù),那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散. 證明： 由假設(shè)為上非負減函數(shù),對任何正數(shù),在上可積,從而有 .依次相加可得 (1)若反常積分收斂,則由（1）式左邊，對任何正整數(shù)，有 .：（正項級數(shù)的收斂原理),級數(shù)收斂. 反之,若為收斂級數(shù),則由（1）式右邊，對任一正整數(shù)有 . (2)因為為非負減函數(shù),故對任何正數(shù),都有 .根據(jù)(2)式得反常積分收斂.用同樣的方法,可以證明與是同時發(fā)散的. 注：積分判別法是利用非負函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì),并以反常積分為比較對象來判斷正項級數(shù)的斂散性.綜上所述,判別正項級數(shù)的斂散性有多種方法,比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、拉貝判別法、積分判別法,判斷出它們之間的大小關(guān)系,則用比較判別法。如果原級數(shù)含有n次冪的形式,則可考慮用柯西判別法。如果原級數(shù)含有等形式,則可試用達朗貝爾判別法。如果用上面三種方法都不容易判斷斂散性,可試用拉貝判別法。 一個級數(shù)，如果只有有限個負項或有限個正項，都可以使用正項級數(shù)的各種判別法來判斷他的收斂性。如果一個級數(shù)既有無限個正項，又有無限個負項，那么正項級數(shù)的各種判別法不再適用。 為此，我們從正項級數(shù)轉(zhuǎn)向討論任意項級數(shù)，也就是通項任意的可正可負的級數(shù)。 由于Cauchy收斂原理是對斂散性最本質(zhì)的刻畫，為了判斷任意項級數(shù)的斂散性，我們將關(guān)于數(shù)列的Cauchy收斂原理應(yīng)用于級數(shù)的情況，即可得到01定理：級數(shù)的Cauchy收斂原理 級數(shù)收斂的充分必要條件是：對任意給定的，存在正整數(shù)N,使得 對一切成立。01定義：交錯級數(shù) 若級數(shù)的各項符號正負相間,且滿足單調(diào)減少且收斂于0，則稱這樣的交錯級數(shù)為Leibniz級數(shù)02 定理：Leibniz判別法 有交錯級數(shù) ，若 ① ② 則級數(shù) 收斂證： 證明部分和序列 的兩個子列和收斂于同一極限 . 為此先證明遞增有界. , 所以，序列又 , 即數(shù)列有界.由單調(diào)有界原理, 數(shù)列收斂 . 設(shè) . .為了討論比Leibniz級數(shù)更廣泛的任意項級數(shù)，我們先來討論下述引理03 Abel變換： 設(shè)，是兩數(shù)列，記則利用Abel變換即得到如下的Abel引理04 Abel引理：① 為單調(diào)數(shù)列② 為有界數(shù)列，即存在M0，對一切k，成立則 05 級數(shù)的AD判別法： 若下列兩個條件之一滿足，則級數(shù)收斂① （Abel判別法）單調(diào)有界，收斂；② （Dirichlet判別法）單調(diào)趨于0，有界06 條件收斂與絕對收斂： 如果級數(shù)收斂，則稱為絕對收斂級數(shù)，如果級數(shù)收斂而發(fā)散，則稱為條件收斂級數(shù)。07 絕對收斂與更序級數(shù): 若級數(shù)絕對收斂，則它的更序級數(shù)也絕對收斂，且和不變，即 = 。08 Riemann定理: 設(shè)級數(shù)條件收斂，則對任意給定的α，必定存在的更序數(shù)列滿足 = a。定義01：一致收斂 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集數(shù)集D上，若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)N，使得當(dāng)時對一切，都有 ，則稱函數(shù)列在D上一致收斂于，記作 定理02：一致收斂的柯西準(zhǔn)則 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為：對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)N，使得當(dāng)時對一切，和一切正數(shù)p，都有 或定理03：一致收斂的充要條件 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件是 定理04：魏爾斯特拉斯判別法 設(shè)函數(shù)項級數(shù)定義在數(shù)集D上，為收斂的正項級數(shù)，若對一切有 則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂。定理05：阿貝爾判別法 設(shè)① 在區(qū)間I上一致收斂；② 對于每一個是單調(diào)的；③ 在I上一致有界，即對一切和正整數(shù)n，存在正數(shù)M，使得 ，則級數(shù)在I上一致收斂定理06：狄利克雷判別法 設(shè)① 的部分和數(shù)列 在I上一致有界；② 對于每一個是單調(diào)的；③ 在i上，則級數(shù) 在I上一致收斂。定理07：連續(xù)性 若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其和函數(shù)在上也連續(xù)注：這個定理指出：在一致收斂條件下，（無限項）