[理學]12_2正項級數(編輯修改稿)
2025-02-15 14:32 本頁面
【文章內容簡介】 ??故 級 數 收 斂 .返回 后頁 前頁 ( ),n? ? ? ? ?)2( 1 1( 1 ) ! 1010 !nnnnu nun?????110n ??1! .10 nnn???故 級 數 發(fā) 散)3( 1 ( 2 1 ) 2l i m l i m ( 2 1 ) ( 2 2 )nnnnu nnu n n?? ? ? ????? ? ?1,?比值審斂法失效 , 改用比較審斂法 211 ,( 2 1 ) 2n n n??? 211 ,n n???級 數 收 斂11 .2 ( 2 1 )n nn?? ???故 級 數 收 斂返回 后頁 前頁 例 6 級數 2 2 5 2 5 8 2 5 8 [ 2 3 ( 1 ) ] ,1 1 5 1 5 9 1 5 9 [ 1 4 ( 1 ) ]nn? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?由于 ?? ? ? ? ?? ? ??1 2 3 3l i m l i m 1 ,1 4 4nnnnu nun根據推論 1，級數收斂 . 返回 后頁 前頁 例 7 討論級數 1 ( 0 )nn x x? ?? 的斂散性 . 解 因為 11( 1 ) 1 ( ) ,nnnnu n x nx x nu n x n????? ? ? ? ? ?根據推論 1,當 0 x 1時級數收斂 。當 x1時級數發(fā) n?散 。 而當 x = 1時 , 所考察的級數是 , 它顯然也是 發(fā)散的 . 返回 后頁 前頁 2 ( 1 ) 3 ,22nnn nnuv??? ? ?E x 4,2 )1(211收斂級數 ??????????nnnnnu,))1(2(2 )1(211nnnnn auu ?????? ??但 ,61l i m2 ??? nn a,23lim 12 ???? nna .limlim 1 不存在nnnnnauu???????返回 后頁 前頁 性作出判斷 . 例如級數 ??211 ,nn和它們的比式極 ? ? ? ? ?1211 ( ) ,nnu nun限都是 但 收斂(167。 1例 5), ? 1n而 卻是發(fā)散的 (167。 1例 3). 若某級數的 (7)式的極限不存在 ,則可應用上、下極 限來判別收斂性 . 若 (7)中 q = 1,這時用比式判別法不能對級數的斂散 返回 后頁 前頁 *推論 2設 nu? 為正項級數 . ?????1( i ) l i m 1 , 。nn nu qu若 則級數收斂1( i i ) l i m 1 , 。nn nu qu?????若 則級數發(fā)散*例 8 研究級數 2 2 2 11 ( 8 )n n n nb b c b c b c b c b c?? ? ? ? ? ? ? ?的斂散性 , 其中 0 b c. 返回 后頁 前頁 解 由于 1 ,nnbnuu ? ?? ??為 奇 數 ,為 偶 數11l i m , l i m ,nnn nuucb???? ????故有 于是當 c 1時 , 級數 (8)收斂 。 當 b 1時 ,級數 (8)發(fā)散 。 但當 b 1 c時 ,比式判別法無法判斷級數 (8)的斂散 性 . 返回 后頁 前頁 定理 (柯西判別法 , 或根式判別法 ) 設 nu? 為正 項級數 , 且存在某正數 0 ,Nl及常數? 0( i ) ,nN若對一切 成立不等式1 , ( 9 )n nul ??。nu?則級數 收斂? 0( ii ) ,nN若對一切 成立不等式1 , ( 10 )n nu ?.nu?則級數 發(fā)散返回 后頁 前頁 于情形 (ii), 由 (10)式可得 1 1 .nnu ???? , nnu顯然當 時不可能以零為極限 , 因而由級數 收斂的必要條件可知 , 級數 nu? 是發(fā)散的 . 證 由 (9)式有 ,nnul? 因為等比級數 11nll當 ???,時 收 斂 故由比較原則 , 這時級數 nu? 也收斂 , 對 返回 后頁 前頁 li m , ( 11 )n nn ul?? ?( i ) 1 , 。nlu? ?當 時 級數 收斂( i i ) 1 , .n? ?當 時 級數 發(fā)散則 證 由 (11)式 , ??1,l?當取 時存在某正數 N,對一切 n N, 有 .n nl u l??? ? ? ?于是由根式判別法就得到推論所要證明的結論 . 推論 1(根式判別法的極限形式 ) 設 nu? 為正項級 數 ,且 返回 后頁 前頁 例 9 研究級數 ??? 2 ( 1 )2nn的斂散性 . 解 由于 2 ( 1 ) 1l i m l i m ,22n nnnnn u? ? ? ?????所以級數是收斂的 . 若在 (11)式中 l =1,則根式判別法仍無法對級數的斂 散性做出判斷 . 例如 ??211 ,nn對和 都有 返回 后頁 前頁 2111 ( ) , ,nnun nn? ? ? ??但 是 收 斂 的 而 卻 是發(fā)散的 . 若 (11)式的極限不存在 , 則可根據根式 n nu 的上極限 來判斷 . *推論 2 設 nu? 為正項級數 , 且 l i m ,n nn ul?? ?則當 (i) l 1 時級數收斂 。 (ii) l 1 時級數發(fā)散 . 返回 后頁 前頁 *例 10考察級數 22 nnb c b c b c? ? ? ? ? ? ?的斂 散性，其中 0 1 .bc? ? ?解 由于 1211 21( ) ,()( ) ,m mnnm mccumbb? ????? ? ??? ??故 l i m 1 ,n nn uc?? ??因此級數是收斂的 . 返回 后頁 前頁 ?? ? ? ?? ? ??1l i m l i m ,nnnnnnu cub11l i m l i m 0 1 ,nnnnnnu bu c??????? ? ?如果應用比式判別法 , 由于
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