數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)經(jīng)典例題大全(編輯修改稿)
2025-02-10 02:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ：，當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。分析 我們知道發(fā)散到正無窮，因此，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)此項(xiàng)趨于無窮的速度估計(jì)，如果我們掌握以前學(xué)習(xí)過的結(jié)論： 其中，為Euler常數(shù)，則立即可得原級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同時(shí)斂散，注意到 因而，推斷出：即時(shí)收斂；即時(shí)發(fā)散。有了上述的分析，具體的證明就很簡(jiǎn)單了。證明：由于 ，因而，存在，使得 ，記，則 ，因而，與同時(shí)斂散，故，時(shí)原級(jí)數(shù)收斂；時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散。3 設(shè)收斂，證明 。分析 從題型上看，似乎利用Stolz定理，但是，由于沒有結(jié)論，因而，Stolz定理不可直接用。我們?cè)趶臈l件入手，分析進(jìn)一步的信息。由條件，我們可以獲得兩條定量信息：、由此條件出發(fā)，得到與結(jié)論相似的結(jié)論有：，從第二個(gè)結(jié)論稍加修改，就可以很容易證明結(jié)論。證明：記級(jí)數(shù)的部分和為且收斂于，則由Stolz定理， ，由于 于是， ，因而， 。注、也可以直接從 出發(fā)證明結(jié)論：事實(shí)上，利用形式統(tǒng)一法， 代入即得結(jié)論。3 設(shè)且滿足，定義，證明：絕對(duì)收斂。分析 解題的關(guān)鍵仍是利用微分性質(zhì)對(duì)通項(xiàng)進(jìn)分析分析。證明: 利用微分中值定理，則 其中在與之間。因而，由此遞推可得 ，由比較判別法得，絕對(duì)收斂。3 設(shè)在單調(diào)遞減，收斂，證明： 。分析 從要證明的結(jié)論形式看，處理的方法應(yīng)該是形式統(tǒng)一法，需要將右端的廣義積分分割為無限和的形式，證明的關(guān)鍵也正是選擇一個(gè)合適的分割。證明：對(duì)任意的h0, 則 ，類似的思想方法得， ，利用的收斂性和極限的夾逼定理既得結(jié)論。 下面通過級(jí)數(shù)間的相互關(guān)系討論斂散性。3 1）、設(shè)收斂，證明收斂； 2）、討論級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂性。證明：1）、分析 題目中實(shí)際給出兩個(gè)條件，一個(gè)是抽象級(jí)數(shù)，另一個(gè)是具體級(jí)數(shù)，因此，證明的思路是如何利用兩個(gè)已知的級(jí)數(shù)控制待研究的級(jí)數(shù)，從通項(xiàng)形式中可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該是從中分離出形式，常用的工具就是Cauchy不等式。由于 ，且利用積分判別法可以證明：收斂，因而，由比較判別法，則收斂。 2）、這是一個(gè)具體的級(jí)數(shù)，按常規(guī)的程序分析。首先證明原級(jí)數(shù)的收斂性。由于 ，且單調(diào)遞減趨于0，因而，由Dirichlet判別法，收斂。其次，考慮絕對(duì)級(jí)數(shù)的收斂性。由于 ，類似前述證明：收斂，而發(fā)散（積分判別法），因而，發(fā)散，故，原級(jí)數(shù)條件收斂。注、上述方法是處理這類題目的典型處理方法，特別要掌握三角函數(shù)的部分和公式： ， ，因此，成立 。注、從上述證明中可知，收斂，而發(fā)散。我們知道，當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散，p＝1是臨界指標(biāo)，并且我們知道，級(jí)數(shù)是否收斂和通項(xiàng)收斂于0的速度有關(guān)，因此，上述幾個(gè)結(jié)論表明，的通項(xiàng)收斂于的速度不能保證級(jí)數(shù)的收斂性，分母上貢獻(xiàn)一個(gè)因子lnn后，仍不足以保證級(jí)數(shù)的收斂性，但是，一旦這個(gè)因子的冪次大于1，級(jí)數(shù)就收斂了，因而，p＝1也是的臨界指標(biāo)。3 證明：若與都收斂，則也收斂。分析 這是抽象級(jí)數(shù)斂散性的判別，通過已知級(jí)數(shù)和待研究級(jí)數(shù)的形式可以看出，借助部分和可以將它們聯(lián)系起來，因而用定義法判別其收斂性。證明：設(shè)、的部分和分別為、且設(shè)，則 故， ，因而，收斂。下面兩個(gè)例子與例18結(jié)構(gòu)相同，處理方法與例18類似。3 證明：若收斂，且，則收斂。證明：設(shè)、的部分和分別為，則，故 ，因此，收斂。3 設(shè)收斂且，證明：。證明：記的部分和為，則 取極限即可得到結(jié)論。 注、從證明過程中發(fā)現(xiàn)，除去定量關(guān)系，上述結(jié)論的逆也成立，即在條件下，若收斂，則也收斂。注、同樣，在、都收斂的條件下，也收斂。下面我們研究級(jí)數(shù)更進(jìn)一步的性質(zhì)。例21 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，為其部分和，證明：發(fā)散。分析 仍是抽象級(jí)數(shù)，考慮用定義方法或Cauchy收斂準(zhǔn)則。證明：考察其Cauchy片段 因?yàn)?，故?duì)任意n，存在p0，使得，因此，故，發(fā)散。更一般的結(jié)論是：3 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)p時(shí)發(fā)散。其中仍是級(jí)數(shù)的部分和。證明：利用第16題的結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，由比較判別法，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。下證 當(dāng)p1時(shí)，收斂。事實(shí)上，由于 ， 另一方面，因而 ；另外，由于級(jí)數(shù)的部分和，因而其收斂，由比較判別法，當(dāng)p1時(shí)收斂。注、當(dāng)p=2時(shí)，利用下式有更簡(jiǎn)單的證明方法： 而用定義可以證明級(jí)數(shù)收斂。注、用余和代替部分和還有下述結(jié)論。3 設(shè)是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為余和，則級(jí)數(shù)當(dāng)p1時(shí)收斂。時(shí)發(fā)散。證明：由于收斂，故有。先處理最簡(jiǎn)單的
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