正項級數(shù)收斂性(編輯修改稿)
2024-08-31 17:31 本頁面
【文章內容簡介】 的收斂性，當時，可以肯定另一個有同樣的收斂性，但時，只可由收斂判斷收斂，或者由發(fā)散判斷發(fā)散。和剛好顛倒。有時候不存在，也不是，只要存在，這相當于 故與判定方法完全一樣，但前者有更好的適應性。這種事先要知道一個級數(shù)的收斂性的要求還是有點不方便，如何找那個事先知道的級數(shù)？能否通過數(shù)列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后兩項相比，會有什么消息？還是用極限方法：，由極限定義，得 變成 這不會提供任何有效信息，因為任何一邊都是未知的。由極限定義得到先假設，適當選取可保，不等式取對數(shù)： 再取和：即 故 取指數(shù)： 當變化時，上面不等式兩端都是等比數(shù)列，其級數(shù)的收斂性完全由公比確定，的收斂性完全由兩端的等比級數(shù)確定。由的任意性，若，則可以確保。若，則可以確保。故根據(jù)和，可分別得出收斂和發(fā)散。當時，這個方法失效，無從給出判定。當時，不等式 右半部分還是可用的，而這足夠了，選定，可以確定收斂。于是有 ，若，收斂，若，發(fā)散。，不確定。在這里可以替換成，結論一樣。不過適用性更廣。知道這個的實質是等比數(shù)列的公比是有價值的。這個判別方法不過是用等比級數(shù)作標準判斷級數(shù)的收斂性，能判的范圍很有局限性，比如的時候，就不靈了。根值法和比值法雖然計算上有點區(qū)別，但實質仍然是以等比級數(shù)作標準判斷收斂性，因而結論完全一樣，不過根據(jù)不同表達式采用不同判別法，在計算上會有各自的特點。當時，咋辦？一般說來，想比不如相減方便，故可等價寫成，為了后面表述上的一致性，我們更主要用表示。這樣提問，也許能幫
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