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第五章:隨機變量的收斂性(編輯修改稿)

2024-11-22 12:18 本頁面
 

【文章內容簡介】 ( )2222 2 21 1 11 1 11 1 1 1n n nn n nn i i ii i innS X X X n X X Xn n n n n= = =驏驏鼢瓏= = = 鼢瓏鼢瓏 鼢 桫桫邋 ? 根據(jù)大數(shù)定律 , ( )2211nPiiiXXn=揪 ?229。E 又 1 , 1nas nn 所以 ( )22111nPiiinXXnn=驏247。231。揪 ?247。231。247。231。 247。 桫229。E ( 如果 ,PPnnX X Y Y揪 井 ,則PnnX Y XY揪 ? ) 同樣,根據(jù)大數(shù)定律,PnX m揪 ? ,由于 ( )2g y y= 為連續(xù)函數(shù), 所以22PnX m揪 ? , 221PnnXnm揪 ? 所以 ( )2 2 2 2PniSX ms= 揪 ?=E 樣本方差依概率收斂于分布的方差 16 強大數(shù)定律( SLLN) ? 獨立同分布( IID)的隨機變量序列 , 方差 ,則樣本均值 幾乎處處收斂 于期望 ,即對任意 ? ?iX ??E??? niin XnX11?? ?l i m 0nn X ???? ? ? ?P? ? 2iXV ?? ? ?12, ..., nX X X? 0??17 例:大數(shù)定律 ? 考慮拋硬幣的問題,其中正面向上的概率為 p,令 表示單次拋擲的輸出( 0或 1)。因此 ? 若共拋擲 n次,正面向上的比率為 。根據(jù)大數(shù)定律, ? 但這并不意味著 在數(shù)值上等于 p ? 而是表示當 n很大時, 的分布緊圍繞 p ? 令 ,若要求 ,則 n至少為多少? ? 解: iX? ? ? ?1iip X X? ? ?PEnXPnXp???nXnX12p? ? ?0 . 4 0 . 6 0 . 7nX? ? ?P? ? ? ?0 . 4 0 . 6 0 . 1nnXX ?? ? ? ? ?PP? ? ? ? ? ?21 2 , 1 1 4nnX p X n p p n n?? ? ? ? ? ?EV? ? ? ? ? ?21 2 , 1iiX p X p p??? ? ? ? ? ?EV? ? 21 2 51 0 . 1 1 1 0 . 74 0 . 1nX nn?? ? ? ? ? ? ? ? ??P1 2 5 0 . 7 8 4nn? ? ? ?18 中心極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) ? 獨立同分布( IID)的隨機變量序列 , ,則樣本均值 近似服從期望為 方差為 的正態(tài)分布 ,即 其中 Z為標準正態(tài)分布 或 也記為 ? 無論隨機變量 X為 何種類型的分布,只要滿足定理條件,其樣本均值就近似服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布很重要 ? 但近似的程度與原分布有關 ? 大樣本統(tǒng)計推理的理論基礎 ? ? ? ? 2 21lim 2z xnn P Z z z e d x? ????? ? ? ? ? ?2 n?? ?nnnXZZ?????? ?2,nX N n??????niin XnX11?? ? ? ? 2, iiXXEV ??? ? ? ?12, ..., nX X X19 中心極限定理 中心極限定理試驗 20 例:中心極限定理 ? 每個計算機程序的錯誤的數(shù)目為 X, ? 現(xiàn)有 125個程序,用 表示各個程序中的錯誤的數(shù)目,求 的近似值 ? 解: ? ?~ , 5X P o i s s o n ?? ?1 2 1 2 5, ...,X X X? ?5 .5nX ?P? ? ? ? ? ?5 . 55 . 5 nn nX nX ? ?????? ???? ? ???PP? ? ? ?2115 , 5XX? ? ? ?? ? ? ? ? ?EV? ?2 .
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