第五章：隨機(jī)變量的收斂性(編輯修改稿)
2024-11-22 12:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( )2222 2 21 1 11 1 11 1 1 1n n nn n nn i i ii i innS X X X n X X Xn n n n n= = =驏驏鼢瓏= = = 鼢瓏鼢瓏 鼢 桫桫邋 ? 根據(jù)大數(shù)定律 ， ( )2211nPiiiXXn=揪 ?229。E 又 1 , 1nas nn 所以 ( )22111nPiiinXXnn=驏247。231。揪 ?247。231。247。231。 247。 桫229。E （ 如果 ,PPnnX X Y Y揪 井 ，則PnnX Y XY揪 ? ） 同樣，根據(jù)大數(shù)定律，PnX m揪 ? ，由于 ( )2g y y= 為連續(xù)函數(shù)， 所以22PnX m揪 ? ， 221PnnXnm揪 ? 所以 ( )2 2 2 2PniSX ms= 揪 ?=E 樣本方差依概率收斂于分布的方差 16 強(qiáng)大數(shù)定律（ SLLN） ? 獨(dú)立同分布（ IID）的隨機(jī)變量序列 ， 方差 ，則樣本均值 幾乎處處收斂 于期望 ，即對(duì)任意 ? ?iX ??E??? niin XnX11?? ?l i m 0nn X ???? ? ? ?P? ? 2iXV ?? ? ?12, ..., nX X X? 0??17 例：大數(shù)定律 ? 考慮拋硬幣的問題，其中正面向上的概率為 p，令 表示單次拋擲的輸出（ 0或 1）。因此 ? 若共拋擲 n次，正面向上的比率為 。根據(jù)大數(shù)定律， ? 但這并不意味著 在數(shù)值上等于 p ? 而是表示當(dāng) n很大時(shí)， 的分布緊圍繞 p ? 令 ，若要求 ，則 n至少為多少？ ? 解： iX? ? ? ?1iip X X? ? ?PEnXPnXp???nXnX12p? ? ?0 . 4 0 . 6 0 . 7nX? ? ?P? ? ? ?0 . 4 0 . 6 0 . 1nnXX ?? ? ? ? ?PP? ? ? ? ? ?21 2 , 1 1 4nnX p X n p p n n?? ? ? ? ? ?EV? ? ? ? ? ?21 2 , 1iiX p X p p??? ? ? ? ? ?EV? ? 21 2 51 0 . 1 1 1 0 . 74 0 . 1nX nn?? ? ? ? ? ? ? ? ??P1 2 5 0 . 7 8 4nn? ? ? ?18 中心極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) ? 獨(dú)立同分布（ IID）的隨機(jī)變量序列 , ，則樣本均值 近似服從期望為 方差為 的正態(tài)分布 ，即 其中 Z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 或 也記為 ? 無論隨機(jī)變量 X為 何種類型的分布，只要滿足定理?xiàng)l件，其樣本均值就近似服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布很重要 ? 但近似的程度與原分布有關(guān) ? 大樣本統(tǒng)計(jì)推理的理論基礎(chǔ) ? ? ? ? 2 21lim 2z xnn P Z z z e d x? ????? ? ? ? ? ?2 n?? ?nnnXZZ?????? ?2,nX N n??????niin XnX11?? ? ? ? 2, iiXXEV ??? ? ? ?12, ..., nX X X19 中心極限定理 中心極限定理試驗(yàn) 20 例：中心極限定理 ? 每個(gè)計(jì)算機(jī)程序的錯(cuò)誤的數(shù)目為 X， ? 現(xiàn)有 125個(gè)程序，用 表示各個(gè)程序中的錯(cuò)誤的數(shù)目，求 的近似值 ? 解： ? ?~ , 5X P o i s s o n ?? ?1 2 1 2 5, ...,X X X? ?5 .5nX ?P? ? ? ? ? ?5 . 55 . 5 nn nX nX ? ?????? ???? ? ???PP? ? ? ?2115 , 5XX? ? ? ?? ? ? ? ? ?EV? ?2 .
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