條件概率與隨機(jī)變量的獨(dú)立性(編輯修改稿)
2025-05-26 12:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 , 0 6 0() 600,Yyfy? ??????? 其 它xyo6055 45yx?5xy??5xy? ??15由 X， Y獨(dú)立性知 1 , 1 5 4 5 , 0 6 0( , ) ( ) ( ) 18000,XYxyf x y f x f y? ? ? ? ??????? 其 它先到的人等待另一人到達(dá)的時間不超過 5分鐘的概率為 { | | 5 }P X Y?? ，甲先到的 概率為 {}P X Y?{ | | 5 } { 5 5 }P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ?45 515 511800xxdy dx???????????45151180 dx? ? 16?xyo6055 45yx?5xy??5xy? ??154 5 6 0151{}1800xP X Y d y d x???? ??????45151 ( 60 )1800 x dx???2 4 5151 601 8 0 0 2xx?????????45151 ( 120 ) |900 xx??12?例 6 設(shè) 221 2 1 2( , ) ~ ( , , , , )X Y N ? ? ? ? ?(1)求 和 | ( | )XYf x y | ( | )YXf y x(2)證明 X與 Y相互獨(dú)立的充要條件是 0??解 |( , )( | )()XY Yf x yf x yfy?221 1 2 22 2 2121222221 ( ) ( ) ( ) ( )222 ( 1 )212()2212112x x y yyee? ? ? ????? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???? ??????21221212 ( 1 )21121xye??????? ? ??????????????21222211 ()2 ( 1 )21121xye? ?????? ? ???? ? ????????故在 Y=y的條件下， X服從正態(tài)分布： 對稱地，在 X=x的條件下， Y服從正態(tài)分布： 2211 2 22( | ) ~ ( ) , ( 1 )X Y y N y?? ? ? ? ????? ? ? ?????2222 1 11( | ) ~ ( ) , ( 1 )Y X x N x?? ? ? ? ????? ? ? ?????(2)比較 與 和 的密度 函數(shù) ： f(x,y)， fX(x)， fY(y) 可知，當(dāng)且僅當(dāng) 時， 221 2 1 2( , , , , )N ? ? ? ? ? 211( ,N ?? 222( , )N ??0??( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?即，當(dāng)且僅當(dāng) 時， X與 Y 相互獨(dú)立。 0??例 7 設(shè)隨機(jī)變量 (X， Y)的概率密度為 ,0( , )0,ye x yf x y?? ??? ?? 其 它(2)求在 Y=y的條件下， X的條件概率密度。 (1)求 X與 Y的邊緣概率密度，并判斷 X與 Y相互獨(dú)立 。 xyoyx?解 (1)由 ( ) ( , )Xf x f x y d y????? ? ()x? ? ? ? ? ?當(dāng) x≤0時， ( ) 0Xfx ?當(dāng) x0時， () yxX xf x e dy e?? ?????所以 ,0() 0 , 0xXexfxx?? ?? ? ??類似得 ,0() 0,yYy e yfy ?? ?? ??? y0(2)求在 Y=y的條件下， X的條件概率密度。 由 (1)知，當(dāng) y0時， fY(y)0的條件下，所以在 Y=y的條件下， X的條件概率密度為 |1 ,0( , )( | )() 0,XY Yxyf x yyf x yfy? ???????? 其 它167。 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 在實際應(yīng)用中，有些隨機(jī)變量往往是兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)。 例如，考慮全國年齡在 40歲以上的人群，用 X和Y分別表示一個人的年齡和體重， Z表示這個人的血壓，并且已知 Z與 X， Y的函數(shù)關(guān)系式 ( , )Z g X Y?現(xiàn)希望通過 (X， Y)的分布來確定 Z的分布。此類問題就是我們將要討論的 兩個隨機(jī)向量函數(shù)的分布 問題 . 本節(jié)我們重點討論兩種特殊的函數(shù) (1) Z=X+Y (2) Z=max(X,Y)和 Z=min(X,Y)，其中 X和 Y相互獨(dú)立。 注 ：應(yīng)該指出的是，將兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題推廣到 n個隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題只是表述和計算繁雜程度提高，并沒有本質(zhì)性的差異。 一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)分布 設(shè) (X， Y)是二維隨機(jī)向量， g(x,y)是二元函數(shù)，則 g(X,Y)作為 (X， Y)的函數(shù)是一個隨機(jī)變量。如果 (X， Y)的概率分布為： { , }i j ijP X x Y y p? ? ?( , 1, 2 , )ij ? 設(shè) Z=g(X,Y)的據(jù)有可能取值為 zk,k=1,2, … ,則 Z的概率分布為 { } { ( , ) }kkP Z z P g X Y z? ? ?( , ){ , }i j kijg x y z P X x Y y?? ? ??( , )i j kijg x y zp?? ? 1, 2,k ?例如，若 X， Y相互獨(dú)立，且 {} kP X k a?? {}kP Y k b?? 0 ,1, 2 ,k ?則 Z=X+Y的概率分布為 { } { }P Z r P X Y r? ? ? ?0{ , }riP X i Y r i?? ? ? ??0 1 1 0r r ra b a b a b?? ? ? ?0 ,1, 2 ,r ?即 0{}ri r iiP Z r a b ???? ?這個公式稱為 離散型卷積公式 例 1 設(shè)隨機(jī)向量 (X， Y)的概率分布如下表 1 0 1 2 0 XY1 2 求隨機(jī)向量 (X， Y)的函數(shù) Z的分布。 (1) Z=X+Y (2) Z=XY 解 由 (X， Y)的概率分布可得 ijp( , )XYZ X Y??Z XY? 0 (1， 1) (
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