16722離散型隨機(jī)變量及其概率分布(編輯修改稿)
2025-08-13 19:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 ( ) ( ) k kkP Y C ?? ? ??結(jié)果表明 , 在后一種情況盡管任務(wù)重了(每人平均維護(hù)約 27臺(tái) ), 但工作效率不僅沒(méi)有降低 , 反而提高了 . 24 5. 幾何分布 在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 , 事件 A發(fā)生的概率為p, 設(shè) X為直到 A發(fā)生為止所進(jìn)行的次數(shù) , 顯然 X的可能取值是全體自然數(shù) , 且由伯努利定理知其分布為 P{X=k}=(1p)k1p, 0p1, k?1 () 定義 6 若一隨機(jī)變量 X的概率分布由 ()給出 , 則稱 X服從參數(shù)為 p的幾何分布 . 25 P{X=k}=(1p)k1p, 0p1, k?1 () 定義 6 若一隨機(jī)變量 X的概率分布由 ()給出 , 則稱 X服從參數(shù)為 p的幾何分布 . 令 q=1p易見 1111( 1 ) { } 0 ( 1 )( 2) { } 1 ,1knkkkP X k pq kpP X k p qq???? ? ? ?? ? ? ???26 幾何分布具有下列無(wú)記憶性 : P{Xm+n|Xm}=P{Xn},m,n?N () 事實(shí)上 , 因?yàn)? {}{ | } ,{}P X m nP X m n X mP X m??? ? ? ??而 1111{},kkmm i miP X m p qq p q q???????????同理 , P{Xm+n}=qm+n, P{Xn}=qn 代入即證得 ()式 . 27 P{Xm+n|Xm}=P{Xn},m,n?N () 注 : 所謂無(wú)記憶性 , 意指幾何分布對(duì)過(guò)去的m次失敗的信息在后面的計(jì)算中被遺忘了 . 進(jìn)一步還可以證明 : 一個(gè)取自然數(shù)值的隨機(jī)變量 , 如果具有 ()式表達(dá)的無(wú)記憶性 , 則 X一定服從幾何分布 , 故無(wú)記憶是幾何分布的一個(gè)特性 . 28 例 6 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊 , 直到命中為止 , 已知他每發(fā)命中的概率是 p, 求所需射擊發(fā)數(shù) X的概率分布 . 29 解 顯然 , X 可能取的值是 1,2, … , 為計(jì)算 P { X = k }, k =1,2, … , 設(shè) Ak={ 第 k 發(fā)命中 }, k =1,2, … , 則 11221 2 3{ 1 } { } ,{ 2 } { } ( 1 ) ,{ 3 } { } ( 1 ) ,P X P A pP X P A A p pP X P A A A p p? ? ?? ? ? ? ? ? 于是 , 所求需射擊發(fā)數(shù) X 的概率分布為 P { X = k }=(1 p )k 1p , k =1,2, … 30 6. 超幾何分布 引例 一個(gè)袋子中裝有 N個(gè)球 , 其中 N1個(gè)白球 , N2個(gè)黑球 (N=N1+N2), 從中不放回地抽取 n(1?n?N)個(gè)球 , 設(shè) X表示取到白球的數(shù)目 , 則根據(jù)古典概型易算得 X的分布 12{ } , 0 ( 2 .5 )k n kNNnNCCP X k k nC? ? ? ?這里規(guī)定 , 當(dāng) ab時(shí) , 0baC ?31 定義 7 若一隨機(jī)變量 X的概率分布由 ()給出 , 則稱 X服從 超幾何分布 . 12{ } , 0 ( 2 .5 )k n kNNnNCCP X k k nC? ? ? ?32 給出一個(gè)近似計(jì)算公式 . 計(jì)算nNC 時(shí) , 如果 N 要比 n 大很多很多的時(shí)候 , N n , 有 !nnNNCn? 這是因?yàn)? ! ( 1 ) ( 1 )! ( ) ! ! !nnNN N N N n NCn N n n n ?? ? ? 33 在實(shí)際應(yīng)用中 , 如果是放回抽樣 , 則服從二項(xiàng)分布 . 而不放回抽樣服從超幾何分布 . 但是當(dāng) N, N1和 N2都很大的時(shí)候 , 超幾何分布近似服從二項(xiàng)分布 . 12{ } , 0 ( 2 .5 )k n kNNn
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