【文章內(nèi)容簡介】 101 000＝ 1100， P(C)＝ 501 000＝ 120. 故事件 A， B， C 的概率分別為 11 000， 1100， 120. (2)1 張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè) “ 1 張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng) ” 這個(gè)事件為 M，則 M＝ A∪ B∪ C.∵ A、 B、 C 兩兩互斥， ∴ P(M)＝ P(A∪ B∪ C)＝ P(A)＋ P(B)＋ P(C)＝ 1＋ 10＋ 501 000 ＝ 611 000. 故 1 張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為 611 000. (3)設(shè) “ 1 張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng) ” 為事件 N，則事件 N 與 “ 1 張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng) ” 為對(duì)立事件， ∴ P(N)＝ 1－ P(A∪ B)＝ 1－ ??? ???11 000＋ 1100 ＝ 9891 000. 故 1 張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為 9891 000. 難點(diǎn)突破 24—— 事件對(duì)立與互斥的辨別問題 對(duì)事件的互斥性與對(duì)立性的辨別，在解題中要根據(jù)問題的具體情況作出準(zhǔn)確的判斷．互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，其概率滿足加法公式，即若 A， B互斥，則 P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B)；對(duì)立事件是必然有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件，也就是說對(duì)立的兩個(gè)事件首先必須是互斥的，而且這兩個(gè)事件之和是一個(gè)必然事件，即一個(gè)事件 A 與 它的對(duì)立事件 A 的概率之間有關(guān)系式 P(A)＋ P( A )＝ 1，用好這個(gè)關(guān)系對(duì)解決概率問題是非常有用的，它往往能使復(fù)雜的問題簡單化． 【示例 1】 ? (2020蘇州模擬 )甲： A1， A2是互斥事件；乙： A1， A2是對(duì)立事件，那么 ( )． A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 【示例 2】 ? 拋擲一枚均勻的正方體骰子 (各面分別標(biāo)有數(shù)字 6)，事件 A 表示 “ 朝 上一面的數(shù)是奇數(shù) ” ，事件 B 表示 “ 朝上一面的數(shù)不超過 3” ，求 P(A∪ B)． 第 2 講 古典概型 【高考會(huì)這樣考】 1．考查古典概型概率公式的應(yīng)用，尤其是古典概型與互斥、對(duì)立事件的綜合問題更是高考的熱點(diǎn)． 2．在解答題中古典概型常與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合進(jìn)行綜合考查，考查學(xué)生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握解決古典概型的基本方法，列舉基本事件、隨機(jī)事件，從中找出基本事件的總個(gè)數(shù)，隨機(jī)事件所含有的基本事件的個(gè)數(shù)． 2．復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)與統(tǒng)計(jì)相關(guān)的綜合題的訓(xùn)練，注重理解、分析、邏輯推理能力的提 升． 基礎(chǔ)梳理 1．基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是 互斥 的． (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件 只有有限個(gè)． (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 相等． 3． 古典概型的概率公式 P(A)＝ A包含的基本事件的個(gè)數(shù) 基本事件的總數(shù) . 一條 規(guī)律 從集合的角度去看待概率，在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個(gè)集合I，基本事件的個(gè)數(shù) n 就是集合 I 的元素個(gè)數(shù)，事件 A是集合 I 的一個(gè)包含 m 個(gè)元素的子集．故 P(A)＝ card?A?card?I?＝ mn. 兩種方法 (1)列舉法：適合于較簡單的試驗(yàn)． (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求．另外在確定基本事件時(shí)， (x， y)可以看成是有序的，如 (1,2)與 (2,1)不同；有時(shí)也可以看成是無序的，如 (1,2)與 (2,1)相同． 雙基自測(cè) 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )一枚硬幣連擲 2 次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為 ( )． 解析 一枚硬幣連擲 2次，基本事件有 (正，正 )， (正，反 )， (反，正 )， (反，反 )，而只有一次出現(xiàn)正面的事件包括 (正，反 )， (反，正 )，故其概率為 24＝ 12. 答案 D 2．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的 概率是 ( )． 解析 甲共有 3種站法，故站在中間的概率為 13. 答案 C 3．?dāng)S一顆骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，則擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率為 ( )． 解析 擲一顆骰子共有 6種情況，其中奇數(shù)點(diǎn)的情況有 3種，故所求概率為： 36＝12. 答案 C 4．從 {1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為 a，從 {1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為 b，則 b＞ a 的概率是 ( )． 解析 基本事件的個(gè)數(shù)有 5 3＝ 15(種 )，其中滿 足 b＞ a的有 3種，所以 b＞ a的概率為 315＝ 15. 答案 D 5． (2020泰州聯(lián)考 )三張卡片上分別寫上字母 E、 E、 B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞 BEE 的概率為 ________． 解析 三張卡片排成一排共有 BEE， EBE， EEB 三種情況，故恰好排成 BEE 的概率為 13. 答案 13 考向一 基本事件數(shù)的探求 【例 1】 ?做拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)：用 (x， y)表示結(jié)果，其中 x 表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)， y 表示第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，寫出： (1)試驗(yàn)的基本事件； (2)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于 8” ； (3)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等 ” ； (4)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于 10” ． [審題視點(diǎn) ] 用列舉法一一列舉． 解 (1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為： (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6) (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6) (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (3,5)， (3,6) (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)， (4,5)， (4,6) (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)， (5,5)， (5,6) (6,1)， (6,2)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) (2)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于 8” 包含以下 10 個(gè)基本事件 (3,6)， (4,5)， (4,6)(5,4)，(5,5)， (5,6)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6)． (3)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等 ” 包含以下 6 個(gè)基本事件 (1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)， (5,5)，(6,6)． (4)事件 “ 出現(xiàn) 點(diǎn)數(shù)之和大于 10” 包含以下 3 個(gè)基本事件 (5,6)， (6,5)， (6,6)． 基本事件數(shù)的探求主要有兩種方法：列舉法和樹狀圖法． 【訓(xùn)練 1】 用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給圖中 3 個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，寫出： (1)試驗(yàn)的基本事件； (2)事件 “ 3 個(gè)矩形顏色都相同 ” ； (3)事件 “ 3 個(gè)矩形顏色都不同 ” ． 解 (1)所有可能的基本事件共 27 個(gè)． (2)由圖可知，事件 “ 3 個(gè)矩形都涂同一 顏色 ” 包含以下 3 個(gè)基本事件：紅紅紅，黃黃黃，藍(lán)藍(lán)藍(lán)． (3)由圖可知，事件 “ 3 個(gè)矩形顏色都不同 ” 包含以下 6 個(gè)基本事件：紅黃藍(lán)，紅藍(lán)黃，黃紅藍(lán)，黃藍(lán)紅，藍(lán)紅黃，藍(lán)黃紅． 考向二 古典概型 【例 2】 ?現(xiàn)有 8 名 2020 年倫敦奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者 A1， A2， A3通曉日語，B1， B2， B3 通曉俄語， C1， C2 通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各 1 名，組成一個(gè)小組． (1)求 A1被選中的概率； (2)求 B1和 C1不全被選中的概率． [審題視點(diǎn) ] 確定基本事件總數(shù)，可用排列組合或用列舉法，確定某事件所包含的基本事件數(shù)，用公式求解． 解 (1)從 8 人中選出日語、俄語和韓語志愿者各 1 名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件共有 C13C13C12＝ 18 個(gè)．由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用 M 表示 “ A1恰被選中 ” 這一事件， 事件 M 由 C13C12＝ 6， 因而 P(M)＝ 618＝ 13. (2)用 N 表示 “ B C1 不全被選中 ” 這一事件，則其對(duì)立事件 N 表示 “ B C1全被選中 ” 這一事件，由于 N 包含 (A1， B1， C1)， (A2， B1， C1)， (A3， B1， C1)3個(gè)結(jié)果，事件 N 有 3 個(gè)基本事件組成，所以 P( N )＝ 318＝ 16，由對(duì)立事件的概率公式得 P(N)＝ 1－ P( N )＝ 1－ 16＝ 56. 古典概型是基本事件個(gè)數(shù)有限，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等的一種概率模型，其概率等于隨機(jī)事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)與基本事件的總個(gè)數(shù)的比值． 【訓(xùn)練 2】 (2020全國新課標(biāo) )有 3 個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 ( )． 解析 甲、乙兩人都 有 3 種選擇，共有 3 3＝ 9(種 )情況，甲、乙兩人參加同一興趣小組共有 3種情況． ∴ 甲、乙兩人參加同一興趣小組的概率 P＝ 39＝ 13. 答案 A 考向三 古典概型的綜合應(yīng)用 【例 3】 ?(2020廣東 )在某次測(cè)驗(yàn)中，有 6 位同學(xué)的平均成績?yōu)?75 分．用 xn 表示編號(hào)為 n(n＝ 1,2， ? ， 6)的同學(xué)所得成績，且前 5 位同學(xué)的成績?nèi)缦拢? 編號(hào) n 1 2 3 4 5 成績 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同學(xué)的成績 x6，及這 6 位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差 s； (2)從前 5 位 同學(xué)中，隨機(jī)地選 2 位同學(xué)，求恰有 1 位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間 (68,75)中的概率． [審題視點(diǎn) ] 本題考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、古典概型概率的計(jì)算． (1)由這 6 位同學(xué)的平均成績?yōu)?75分，建立關(guān)于 x6的方程，可求得 x6，然后求方差，再求標(biāo)準(zhǔn)差；(2)用列舉法可得所求古典概型的概率． 解 (1)∵ 這 6 位同學(xué)的平均成績?yōu)?75 分， ∴ 16(70＋ 76＋ 72＋ 70＋ 72＋ x6)＝ 75，解得 x6＝ 90， 這 6 位同學(xué)成績的方差 s2＝ 16 [(70－ 75)2＋ (76－ 75)2＋ (72－ 75)2＋ (70－ 75)2＋ (72－ 75)2＋ (90－ 75)2]＝49， ∴ 標(biāo)準(zhǔn)差 s＝ 7. (2)從前 5 位同學(xué)中，隨機(jī)地選出 2 位同學(xué)的成績有： (70,76)， (70,72)， (70,70)，(70,72)， (76,72)， (76,70)， (76,72)， (72,70)， (72,72)， (70,72)，共 10 種， 恰有 1 位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間 (68,75)中的有： (70,76)， (76,72)， (76,70)， (76,72)，共4 種，所求的概率為 410＝ ， 即恰有 1 位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間 (68,75)中的概率為 . 有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決． 【訓(xùn)練 3】 一汽車廠生產(chǎn) A， B， C 三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表 (單位：輛 )： 轎車 A 轎車 B 轎車 C 舒適型 100 150 z 標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600 按類用分層 抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取 50 輛，其中有 A 類轎車 10輛． (1)求 z 的值； (2)用分層抽樣的方法在 C 類轎車中抽取一個(gè)容量為 5 的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取 2 輛，求至少有 1 輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機(jī)抽樣的方法從 B 類舒適型轎車中抽取 8 輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下： 9． 4,,，把這 8 輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過 的概率． 解 (1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車 n 輛， 由題意得 50n ＝ 10100＋ 300，所以 n＝ 2 000， 則 z＝ 2 000－ 100－ 300－ 150－ 450－ 600＝ 400. (2)設(shè)所抽樣本中有 a 輛舒適型轎車， 由題意得 4001 000＝ a5，則 a＝ 2. 因此抽取的容量為 5 的樣本中，有 2 輛舒適型轎車， 3 輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用 A1， A2表示 2 輛舒適型轎車，用 B1， B2， B3表示 3 輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用 E 表示事件 “ 在該樣本中任取 2 輛，其中至少有 1 輛舒適型轎車 ” ，則基本事件空間包含的基本事件有： (A1