【文章內(nèi)容簡介】 0 , 1 , 2 , . . . , 1 0 。 1 0 .i j i j i j i j i jiP X i Y j C C a b c a b ci j i ji j i j? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ?30 ( 2 ) ( 1 ) 1 ( 0 ) ( 1 )P X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 91 ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 )1 1 0 ( )P X Y P X Y P X Yc a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?73 7 3 701 0 !( 3 ) ( 3 ) 1 2 0 ( )! 3 ! ( 7 ) !iiiP Y a b c b a cii ??? ? ? ???3 1 0 377371 0 !! 3 ! ( 1 0 3 ) !( 3 ) ( ) ( )1 2 0 ( )0 , 1 , 2 , . . . , 7iii i ia b caciiP X i Y Cb a c a c a ci?????? ? ? ?? ? ??(7 , )ab ac?即 分 布31 ? ?( , ) ( ) ( ) ( , )F x y P X x Y yP X x Y y? ? ?? ? ? ?記成?聯(lián)合分布 ?回顧 : (X,Y) 32 二維離散型隨機變量 ? ?? ?, , , 1 , 2 ,iiXYx y i j ?設(shè) 所有可能取值為? ?, , , 1 , 2 ,i j i jP X x Y y p i j? ? ? ?稱y1 y2 … yj … X Y p11 … p12 p1j … p21 … p22 p2j … pi1 … pi2 pij … … … … … … … … … 1x2xix離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布： 為二維離散型隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率分布。 可以用如右表格表示： 33 二維連續(xù)型隨機變量 ? ? ? ?? ?, , ,( , ) ( , )yxX Y F x yf x y x yF x y f u v d u d v? ? ? ?? ??定 義 ： 對 于 二 維 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 如 果 存 在 非 負 函 數(shù) ， 使 對 于 任 意 ， 有? ?,XY 連 續(xù) 型稱 為 的 二 維 隨 機 變 量? ? ? ?,f x y X Y稱 為 二 維 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 34 ?邊緣分布 二維隨機變量 (X,Y)作為整體，有分布函數(shù) 其中 X和 Y都是隨機變量，它們的分布函數(shù) 記為： 稱為 邊緣分布函數(shù) 。 ( ) ( )XYF x F y，( ) ( , )( ) ( , )XYF x F xF y F y? ? ?? ? ?35 對于 離散型 隨機變量 (X,Y)， 分布律為 ( ) , 1 , 2 ,i j i jP X x Y y p i j? ? ? ?，1( ) ( ) 1 , 2 ,i i i j ijP X x P X x Y p p i???? ? ? ? ? ? ? ??記 為， ==1( ) ( ) 1 , 2 ,j j ij jiP Y y P X Y y p p j? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 記 為， == i i jj i jp p jppi??記 號 表 示 是 由 關(guān) 于 求 和后 得 到 的 ； 同 樣 是 由 關(guān) 于求 和 后 得 到 的 . … … … … … … … … … … p11 … p12 p1j … p1 1x p21 … p22 p2j … p2 2xpi1 … pi2 pij … pi ixX Y y1 y2 … yj … ? ?iP X x?p1 p2 … … 1 ? ?jP Y y?X,Y的邊緣分布律為： 注意： 36 對于 連續(xù)型 隨機變量 (X,Y)， 概率密度為 ( , )f x y( ) ( , )( ) ( , )XYf x f x y d yf y f x y d x???????????? X,Y的邊緣概率密度為： 37 定義：設(shè) (X,Y)是二維離散型隨機變量， 對于固定的 yj， ( ) 0jP Y y??若 ，則稱：()( | ) 1 , 2()i j i jjiiiP X x Y y pP Y y X x jP X x p ???? ? ? ? ??，jY y X?為在 條件下，隨機變量 的 ； 條件分布律()( | ) 1 , 2()i j i jijjjP X x Y y PP X x Y y iP Y y P ???? ? ? ? ??， ( ) 0iP X x??若 ，則稱：iX x Y?為在 條件下，隨機變量 的 。 條件分布律同樣，對于固定的 xi， ?條件分布 38 定義： 條件分布函數(shù) ( ) 0 ,P Y y??若 Y y X?則在 條件下， 的條件分布函數(shù)為：|( , )( | ) ( | )()XYP X x Y yF x y P X x Y yP Y y??? ? ? ??( ) 0 , 0 , ( ) 0P Y y P y Y y??? ? ? ? ? ? ?若 但 對 任 給Y y X?則在 條件下， 的條件分布函數(shù)為：| 00( , )( | ) ( | )()XYP X x y Y yF x y li m P X x y Y y li mP y Y y?????????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?( | )P X x Y y??仍記為39 定義：條件概率密度 ? ?, ( , ) ,X Y f x y設(shè)二維隨機變量 的概率密度為? ?, ( ) ,YX Y Y f y關(guān)于 的邊緣概率密度為, ( ) 0 ,Yy f y ?若 對 于 固 定 的|( , )()( , )( | )()YXYYY y Xf x yfyf x yf x yfy??在 的 條 件 下 ， 的 條 件 概 率 密 度則 稱 為 ，記 為 ：, ( ) 0 ( )XXx f x f x?同 理 ， 若 對 于 固 定 的 ， 且 連 續(xù) ，|( , )( | )()YX Xf x yX x Y f y xfx??在 條件下， 的條件概率密度為：40 |y 0 y 039。y0|( , y ) ( , y ) ( , )( | )( y ) ( y ) ( )( , )( ( , y ) ( , ) ) / y ( , )( ( y ) ( ) ) / y ( ) ( )( x , )f ( | )()XYYYxxY Y Y YXYYP X x y Y y F x y F x yF x y li m li mP y Y y F y F yf u y duF x y F x y f u yli m duF y F y F y f yfyxyfy???? ? ? ???????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???事 實 上 ，＋ ＋＋ ＋＋＋故＝41 也就是，由 | | |( , )( | ) ( | ) ( | )()X Y X Y X Y Yf x yf x y F x y f x yx f y?? ? ??||( | ) ( | )X Y X Yf x y F x yx??? 0( , )()yP X x y Y y ylimx P y Y y y???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?0( , ) ( , )( ) ( )y YYF x y y F x ylimx F y y F y???? ? ? ??? ? ? ?00( , ) ( , )( ) ( )yYYyF x y y F x ylimyF y y F yxlimy??????? ? ?? ??? ? ???( , )()YF x yydF yxdy?? ???2 ( , ) ()YF x yxyfy???? ( , ) ()Yf x yfy?事實上， ?另一種解釋 42 條件概率密度的直觀意義： |( , )( | )()XY Yf x y x yf x y xf y y?????( , )()P x X x x y Y y yP y Y y y? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?()P x X x x y Y y y? ? ? ? ? ? ? ? ?43 例 4：設(shè)二維隨機變量 (X,Y)在區(qū)域 內(nèi)均勻分布，求條件概率密度 21| 32( | ) ( ) .XYf x y P X Y??及1, y 1( , )0 , xf x y ? ? ??? ??? 其 他( ) ( , )Yf y f x y dx????? ?|1 , 11( | ) 0 , XYyxyf x y? ??? ?? ??? 其 它二維均勻分布的條件 分布仍為均勻分布 21321223123()()223XYP X Yf x d xdx???????? 解： 根據(jù)題意， (X,Y) 的概率密度為： Y的邊緣概率密度為： 于是給定 y(1y1)， X的條件概率密度為： xyo 1? ?( , ) : 1x y y x??1 1 , 1 1 0 , ydx y y? ? ? ? ? ??? ????其 他44 ? ? ? ?? ?4 0 , 1 0 1 , 1 ( )YX X x xY x Y f y? ? ?。例 ： 設(shè) 數(shù) 在 區(qū) 間 上 隨 機 取 值 ， 當(dāng) 觀 察 到 時 數(shù) 在 區(qū) 間 上 隨 機 取 值 ， 求 的 概 率 密 度1 0 1()0 XxX f x ???? ??， ，解 ： 的 概 率 密 度， 其 他|( 0 1 ) ,1 1 ( | ) 10 YXx x X x Yxyf y x x? ? ?? ????????對 任 給 在 條 件 下 ， 的 條 件 概 率 密 度 為 ：其 他? ?|,1 1 , 0 1( , ) ( ) ( | ) 10 X Y XXYx y xf x y f x f y x x? ? ? ? ????????故 的 概 率 密 度 為 ：其 他01( 1 ) 0 1 ( ) ( , ) 10 yYYdx l n y yf y f x y dx x?????? ? ? ? ???? ??????所以 的邊緣概率密度為：其他45 ( ) ( ) d [ ( , ) ( )] d .xx YX Y X YF x y f x y x f x y f y x? ? ? ?????( ) ( ) d [ ( , ) ( )] d .yy XY X Y Xf y x f y x y f x y f x y? ? ? ?????說明 聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下 聯(lián)合分布 條件分布函數(shù)與條件密度函數(shù)的關(guān)系 邊緣分布 條件分布 聯(lián)合分布 46 167。 4 相互獨立的隨機變量