多維隨機變量習(xí)題解析(編輯修改稿)
2025-02-04 20:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 故 ?)( yxf ?? ????????? ??.0,0,0,)1( )1(3)(),( 43xxyx yyfyxf? ； (2)由于 ?)1(xf ????????.0,0,0,)2( 24 4xxx 故 27/19)1( 24)1|10( 10 4? ?????? dxxP ?? . (?， ?)的概率密度為 ??? ???? ,0 ,10,||,1),( 其它 xxyyxf 求條件概率密度 )|(),|( xyfyxf ???? 。 解： ????? ???? ?? ????? 其它0101),()( xdydyyxfxf x x? ??? ??? 其它0 102 xx ??? ???????? ????? ?????? 其它其它 01||||10111),()( 1||yyydxdxyxfyfy? ∴當(dāng) 0x1時 ????? ???取其它值yxyxxf yxfxyf0||21)( ),()|(|??? 當(dāng) 1y1時 ????? ?????取其它值xyxyyfyxfyxf0||1||1 1)(),()|(| ???。 ?， ?的分布律為： ? 0 1 ? 0 1 2 3 p p 試求： (1)( ?， ?)的聯(lián)合分布律； (2)? =?+?的分布律。 解： (1)由題設(shè)可知 3,2,1,0。1,0},{}{},{ ???????? jijPiPjiP ???? 。由此可得 ( ?， ?)的聯(lián)合分布律為 ? ? 0 1 2 3 0 1 (2) ? =?+?的取值為 0， 1， 2， 3， 4。 因此可得 P{? =0}=P{?=0， ?=0}=， P{? =1}=P{?=0， ?=1}+P{?=1， ?=0}=+=。 類似 可求 ? 取其它值的概率，列表如下： ?+? 0 1 2 3 4 p ?和 ?是兩個獨立的隨機變量， ?在 [0， 1]上服從均勻分布， ?的概率密度為 ???????? ?,0,0,0,21)( 2yyeyf y? (1)求 ?和 ?的聯(lián)合概率密度； (2)設(shè)含有 a的二次方程為 a2+2?a+?=0，試求 a有實根的概率。 解： (1)∵ ? 在 (0， 1)上服從均勻分布 ∴ ??? ??? 其它0 101)( xxf? 且 ???????? ?00021)( 2yyeyf yY 又 ?和 ?相互獨立 ∴ ????? ????? ?其它00,1021)()(),( 2 yxeyfxfyxf y?? (2)若二次方程 a2+2?a+?=0有實根，必須 4?24?≥ 0，因而所求概率為 dyedxdx dyyxfP yxG 20222 2 21),(}044{ ????? ???? ?? 1 4 4 )5 0 0 4 1 (21)]0()1([2121211)1(][10221010202102222???????????????????????????????????????? dxeedxedxexxxxy (?， ?)的聯(lián)合概率密度為 ???????? ?????? ???????? yxyx kyxf )1)(1(),( 22， (1)求待定系數(shù) k； (2)求關(guān)于 ?和關(guān)于 ?的邊際概率密度； (3)判定 ?， ?的獨立性 。 解： (1)因為 1)1)(1(),( 22 ???? ? ?? ? ???? ???????? ???? dx dyyx kdx dyyxf ，故有 1)1( 1)1( 1 22 ??? ?? ???????? dyydxxk ；因此 21??k 。 (2) )1( 1)1)(1( 1),()( 22222 xdyyxdryxfxf ?????? ?? ???????? ??? ， 類似地，可求得 )1( 1)( 22 yyf ???? (3)因為 )()(),( yfxfyxf ?? ?? ，故 ?與 ?相互獨立。 ?， ?的聯(lián)合分布律用下列表格給出： (?， ?) (1， 1) (1， 2) (1， 3) (2， 1) (2， 2) (2， 3) p 1/6 1/9 1/18 1/3 α β 那末 α 、 β 取什么值時， ?， ?才相互獨立？ 解：因所給的聯(lián)合概率分布表中第一行的概率元素不含待定常數(shù) ,易求得邊緣分布 : p1.=P(X=1)=1/
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