四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征(編輯修改稿)
2024-08-14 17:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 11( 1 ) [ ( 1 ) ] ( 1 )1 ( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]kkkkk p p pp???????? ? ? ? ? ?? ? ? ???故 1.niinE X E Xp????例 3 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度 ???????????，其它 ,0,21 ,2,10 ,)( xxxxxf求數(shù)學(xué)期望和方差 . 解 1)2()()( 2110 2 ?? ???? ?? ???? dxxxdxxdxxxfXE122 2 3 2017( ) ( ) ( 2 ) .6E X x f x d x x d x x x d x????? ? ? ? ?? ? ?22 71( ) ( ) ( ) 1 .66D X E X E X? ? ? ? ?注 ：若已知分布函數(shù)，則需先求出密度函數(shù) . 例 4 設(shè) X的密度函數(shù) ,1)( 122 ??????? ??? xexf xx?則 E(X)_______, D(X)_________. 2( 1 )12211( ) , ~ ( 1 , ) ,1 222xf x e X N???????211考點(diǎn)二：隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差 ,再按期望定義計(jì)算 ,如 ： ( ) [ ( ) ] ( ) 。kkkE Y E g X g x p?? ?( ) [ ( ) ] ( ) ( ) .E Y E g X g x f x d x?????? ?( ) [ ( , ) ] ( , ) 。i j ijijE Z E g X Y g x y p?? ??( ) [ ( , ) ] ( , ) ( , ) .E z E g X Y g x y f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ??? ??、方差的性質(zhì)以及常見分布的 數(shù)學(xué)期望與方差計(jì)算 . ( ) ( ) .YE Y y f y d y????? ?例 5 設(shè) X~E(1),則數(shù)學(xué)期望 ._ _ _ _ _ _ _)( 2 ?? ? XeXE 43解 先利用期望的線性性質(zhì)，再用隨機(jī)變量函數(shù) 的期望公式求得 . 因 X~E(1),于是 E(X)=1,而且 X的密度函數(shù)為 ?????? ?,0 ,0,0 ,)(xxexf x2201( ) .3X x xE e e e d x??? ? ????22 4( ) ( ) ( ) .3XXE X e E X E e??? ? ? ? ?指數(shù)分布 例 6 設(shè) X的密度函數(shù) ,)1( 1)( 2 ???????? xxxf ?求 )].1,[m i n ( XE解 直接利用函數(shù)期望的公式計(jì)算 11122012101[ m in ( , 1 ) ] m in ( , 1 )( ) ( )122( 1 ) ( 1 )1 l n 2 1[ l n ( 1 ) 2 a r c ta n ]2xxE X x d xx f x d x f x d xxd x d xxxxx?????????????????????? ? ? ? ??????注 ：在求多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望時(shí) ,若直接 用公式計(jì)算 ,則需求多重積分 .故不如先求出隨機(jī)變 量函數(shù)的概率分布 ,再用定義計(jì)算期望 ,例 如 設(shè)隨機(jī)變量 X1, X2, … Xn獨(dú)立同分布 ,其密度函數(shù) 2 ( )2 , ,()0 , .xexfxx? ????? ?? ???試求 的數(shù)學(xué)期望和方差 . niXZ???1}m in {?為常數(shù) （自行完成） 例 7 設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 ))21(,0( 2N的隨機(jī)變量，則 ._ _ _ _ _ _)( ?? YXE解 令 Z=XY，則 E(Z)=0, D(Z)=1,即 ).1,0(~ NZ故積分，得 2212( ) .2zE X Y z e d z???? ???? ? ??注 ：利用正態(tài)分布的性質(zhì)、 隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式 例 8
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