【文章內容簡介】 22212121212 ????????????????????????yyxxeyxP結論： N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)的邊際密度函數 PX(x)是N(?1, ?12)的密度函數，而 PY(Y)是 N(?2, ?22)的密度函數。 故二維正態(tài)分布的邊際分布也是正態(tài)分布。 定義 1： 稱隨機變量 X與 Y獨立 ， 如果對任意實數 ab,cd， 有 p{aX?b,cY?d}=p{aX?b}p{cY?d} 即事件 {aX?b}與事件 {cY?d}獨立 ， 則稱隨機變量 X與 Y獨立 。 定義 2： 稱隨機變量 X與 Y獨立的 ，如果 F(x,y)=FX(x)FY(y) 其中 F(x,y)是（ X， Y） 的聯(lián)合分布函數， FX(x)、 FY(y)分別是 X、 Y的分布函數。 三 、隨機變量的相互獨立性 定理 (p127): 設 (X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量， X與 Y獨立的充分必要條件是， P(x,y)=PX(x)PY(y) 定理（復習） :設 (X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為 Pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...， 則 X與 Y獨立的充分必要條件是對任意 i,j， Pij=Pi?P?j 。 獨立性的例子 例：書中（ P122） 例 量是否獨立？ 例： 設 (X,Y) ～ N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)，則 X與 Y獨立充要條件為 ?=0。 167。 隨機變量函數的分布 一般方法 (p56) 若 X～ p(x), ? x +?, Y=g(X)為隨機變量 X 的函數，則可先求 Y的分布函數 FY (y) ＝ P{Yy}＝ P {g(X) y}＝ ?? yxg dxxp)( )(dyydFyp YY)()( ?然后再求 Y的密度函數 此法也叫“ 分布函數法” 一、一維連續(xù)型隨機變量函數的密度函數 例 X?U(1,1),求 Y=X2的分布函數與概率密度。 ? ?? ? ? ?dxxpyXPyYPyFxxgyxxpyxXYX???????????????????2)()()(0112122其它解： ?ydxyFyyY ?? ?? 21)(????? ????其它01021)(39。)(yyyFyp YY當 y ≤ 0時 0)( ?yFY當 0y ≤ 1時 ；當 y1時 1)( ?yFY 例 2:設 X的概率密度為 pX(x),y=g(x)關于 x處處可導且是 x的嚴格單減函數，求 Y=g(X)的概率密度。 公式法： 若 X～ pX(x), y=g(x)是單調可導函數，則 |)(|)]([)(~)( yhyhpypXgY XY ??? 其中 h(y)為 y＝ g(x)的反函數 . 例 X?N(?,?2),求 解： ? ?222222121 yyee???????????????? XY 的概率密度 ???? XY 關于 x嚴單 ,反函數為 ?? ?? yyh )(故 ??? )(|)(|)]([)( ???? ypyhyhpyp XXY例 4： 設 X～ U(0,1),求 Y=ax+b的概率密度 (a≠0) 。 一般的方法：分布函數法 若 (X, Y)~p (x,y), (x,y)?R2, Z=g(X, Y), 則可先求 Z的分布函數 : }),({}{)( zYXgPzZPzF Z ????。),(),(d x d yyxpzyxg????.)()()( dz zdFzFzp ZZZ ???然后再求出 Z的密度函數 : 二、二維隨機變量函數的密度函數 (1)和的分布 已知 (X, Y)～ p(x, y), (x, y)?R2, 求 Z＝ X＋ Y的密度。 幾個常用形式函數的密度函數 )()()( zYXPzZPzF Z ??????????zyxd x d yyxp ),( ? ???? ???? xz dxdyyxp ]),([對 z求導，即得 z密度函數 ?????? dxxzxpzp Z ),()( 若 (X, Y)～ p(x, y), (x, y)?R2, 則 Z＝ X＋ Y的密度為： ? ??????????－或.),(),()( dxxzxpdyyyzpzp Z 若 X與 Y相互獨立，則 Z＝ X＋ Y的密度函數為 .)()()()()( dxxzpxpdyypyzpzp YXYXZ ??? ? ???????或＝ 例 (P133): 設隨機變量 X與 Y獨立且均服從標準正態(tài)分布，求證： Z=X+Y服從 N(0,2)分布。 解： 一般地，設隨機變量 X1, X2， ..., Xn獨立且 Xi服從正態(tài)分布 N(?i ,?i2),i=1,...,n, 則 ),(~ 21211iniiniiiniii aaNXa ?? ?????? 例 2：卡車裝運水泥 ,設每袋水泥的重量X(kg)服從 N(50,)分布 ,該卡車的額定載重量為 2022kg,問最多裝多少袋水泥 ,可使卡車超載的概率不超過 . YX 已知 (X, Y)～ p(x, y), (x, y)?R2, 求 Z＝ 的密度 。 (2)商的分布 d x d yyxpzFzyxZ ???? ),()( ?????)0(),(yzyxdx dyyxp ?????)0(),(yzyxdx dyyxpdydxyxpyz ]),([0? ?? ??? dydxyxpyz ]),([0? ?????)()( zFzp ZZ ??}]),([{ 0 ?? ? ?? ?? dydxyxpyz}]),([{ 0 ?? ? ??? ? dydxyxpyz ? ???? .),(||)( dyyyzpyzp Z特別，當 X， Y相互獨立時，上式可化為 ? ???? ,)()(||)( dyypyzpyzp YXZ其中 pX(x), pY(y)分別為 X和 Y的密度函數。 ? ??? 0 .),( dyyyzyp? ?? 0 ),()( dyyyzypzp Z三、統(tǒng)計學上