第三講隨機變量的函數(shù)與特征函數(shù)(編輯修改稿)
2025-08-28 12:56 本頁面
【文章內容簡介】 ?????????10)(12)(。222 abbamXX???? ?1)一維高斯分布 高斯變量 X的概率密度為： 222)(21)( ???mxX exf???二 . 高斯分布 概率分布函數(shù) )(21)( 22????mxdtexFmx tX??? ????? 對高斯變量進行歸一化處理后的隨機變量，稱為歸一化高斯變量。即令 ，歸一化后的概率密 度為 2221)(yY eyf????mXY ?? 服從標準正態(tài)分布 N(0,1)的高斯變量 X，其特征函數(shù)為 22)(????? eX 服從 的高斯變量 Y，其特征函數(shù)為 ),( 2YYmN ?222)(?????YYmjY e?? （ 1）已知 X為高斯變量，則 Y=aX+b（ a,b為常數(shù)）也為高斯變量，且 222XYXY abamm ?? ???特點： （ 2）高斯變量之和仍為高斯變量。 例：求兩個數(shù)學期望和方差不同且互相獨立的高斯變量 X1,X2之和的概率密度。 推廣到多個互相獨立的高斯變量，其和也是高斯分布。即 若 Xi服從 ，則其和的數(shù)學期望和方差分別為 ???niiXY1),( 2iimN ???????niiYniiY mm1221?? 若有大量相互獨立的隨機變量的和 其中每個隨機變量 Xi對總的變量 Y的影響足夠小時，則在一定條件下，當 時，隨機變量 Y是服從正態(tài)分布的，而與每個隨機變量的分布律無關。 ???niiXY1??n（ 3）中心極限定理 結論：任何物理過程，如果它為許多獨立作用之和，那么這個過程就趨于高斯分布。 2）二維高斯分布 設 X是均值為 ，方差為 的正態(tài)隨機變量， Y是均值為 ，方差為 的正態(tài)隨機變量，且 X,Y的相關系數(shù)為 ，則二維隨機變量 (X,Y)為一個二維正態(tài)隨機變量，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為 Xm 2X?Ym2Y?XYr)1(2)()
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