若連續(xù)型隨機變量x的概率密度函數(shù)為【精選-ppt】(編輯修改稿)
2025-02-16 11:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? 2 )時， 要求滿足 P(X x0 )= ? 的 x0 ： ?(u? )= 1 ? ? u? ??? ? ?? uxux ????? 00已知圓軸截面直徑 d 的分布， 42d?求截面面積 A= 的分布 . 167。 4 隨機變量函數(shù)的分布 再如 , 求功率 W=V 2/ R (R為電阻）的分布等 . 已知 t =t 0 時刻噪聲電壓 V 的分布 , t0t0 V 在實際中，人們常常對隨機變量 X 的函數(shù) Y= g (X)所表示的隨機變量 Y 更感興趣 設(shè)隨機變量 X 的分布已知 ,又 Y= g (X) (設(shè) g是連續(xù)函數(shù) ) 無論在實踐中還是 在理論上都是重要的 如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 通過實例找方法 例 1(P67 例 24) ( X 取某值與 Y 取其對應(yīng)值是相同的事件 ,兩者的概率應(yīng)相同 ) 一、離散型隨機變量函數(shù)的分布 解 Y=2X1 3 1 1 3 5 pk 1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 則 Y=g( X )的分布列為 X 取值分別為 2, 1, 0, 1, 2 時 , Y=2X+1 對應(yīng)值為 3, 1, 1, 3, 5. 。10/1?求 Y=2X+1,Y=X 2 的分布列 . X ? Y=X 2 2 ? 4 1 ? 1 0 ? 0 1 ? 1 2 ? 4 。5/2)1()0( ???? XPYP)1()1( ????? XPYP)2()3( ????? XPYPX 2 1 0 1 2 pk 1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 。5/1?；5/1)1()3( ???? XPYP。10/1)2()5( ???? XPYP2, 2 1, 1 ? 1 0 0 Y=X 2 0 1 4 pk 2/5 2/5 1/5 一般地，離散型隨機變量 X 的分布列為 X x1 x2 ? xn ? pk p1 p2 ? pn ? Y= g(X) g(x1) g(x2) ? g(xn) ? pk p1 p2 ? pn ? 將它們對應(yīng)的概率相加后和并成一項即可 。5/2)0()0( ???? XPYP)1()1()1( ?????? XPXPYP。5/25/15/1 ???)2()2()4( ?????? XPXPYP 。5/101/101/1 ??? 若 g(xk)中有相等值 , 則 FY ( y ) = P(Y ? y) 解 設(shè) Y 的分布函數(shù)為 FY ( y )， 例 2(P69 例 25) 設(shè) X 具有概率密度 ??? ???其它,040,8/)( xxxfX求 Y = 2X + 8 的概率密度 . )28( yXP ??? 于是 Y 的概率密度為 ydyFdyf YY)()( ?二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 注意到 0 x 4 時， ,0)( ?xf X即 0 y 8 時， ,0)28( ?? yf X此時 ,168)28( yyf X ???????? ?????.,0。80,328)(其它yyyf Y② ,)(28dttfy X? ????)28()28( ?????? yyf Xdttfydd y X? ???? 28 )( 21)28( ??? yf X① = P(2X+8 ? y), 設(shè) X 具有概率密度 ,)(xfX)( yXyP ????求導(dǎo)可得 dyydFyf YY)()( ?當(dāng) y 0 時 , )()( yYPyF Y ?? )( 2 yXP ?? 注意到 Y = X 2 ? 0，故當(dāng) y ? 0時， FY ( y) = 0。 解 設(shè) Y 和 X 的分布函數(shù)分別為 FY ( y) 和 FX (x)， ,)()( yFyF XX ???例 3 221() ,2xXfx ? ??若 e????? x則 Y=X 2 的概率密度為 21 , 0 。2(), .00yYyyfyy??? ????? ??e② ① Y 服從自由度為 1 的 分布 2?求 Y=X 2 的概率密度 . ?????.0,0 y? ? 。0,)()(2 1 ??? yyfyfy XX(P70 例 26) 從上述兩例中可看到，在求 P{ Y ? y }的過程中 , 關(guān)鍵是 第一步 中 : 設(shè)法從 { g(X) ? y }中解出 X, 從而得到與 { g(X) ? y }等價的關(guān)于 X 的不等式 . 用 代替 { X 2 ? y } }{ yXy ??? 即利用已知的 X 的分布 ,求出 X 的函數(shù)的分布 用 代替 { 2 X + 8 ? y } }28{ yX ??求 連續(xù)型 隨機變量的函數(shù)的分布的常用方法 如例 2中 , 如例 3中 , 定理 則 Y = g(X) 是一個連續(xù)型隨機變量 ,其概率密度為 又 y = g(x) 處處可導(dǎo) ,且有 g? (x)0 (或恒有 g? (x)0), ??? ?????其它,0,|)(|)]([)( ?? yyhyhfyf XY[ ( ) ] [ ( ) ] ,(),0XYf h y h y yfy ???? ? ??? ?? 其 它類似可證 g? (x)0 時 , })(),(m a x {})(),(m i n {??????????gggg??定理的證明與前面的解題思路完全類似 . 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 具有概率 密度 fX(x), 定理 (P71 ) 下面求 Y 的分布函數(shù) FY(y): 證 ,0)( ?? xg設(shè) ),()( ?????? xg 存在，)( yh? .),()( 導(dǎo)可、???yh由于 ,),()( ???? XgY。0)()(, ????? yYPyFy Y時?))(()(, yXgPyFy Y ???? 時??( ) ( )YYf y F y???g ? 保號 h( y)是 g(x) 的反函數(shù) 。1)()(, ???? yYPyFy Y時?))(( yhXP ?? ? ??? )( ,)(yh X dxxf綜合以上即有結(jié)論成立 . a b a b [ ( ) ] ( ) ,0Xf h y h y y??? ????? 其 它22[ ( ) ]()21 ,||
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