隨機(jī)變量及其概率分布(編輯修改稿)
2025-09-14 17:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 P 替換原書55頁(yè)1．已知下列各對(duì)事件： ①甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，、乙兩組中各選1名同學(xué)參加游園活動(dòng).“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”.②一盒內(nèi)裝有5白球和3個(gè)黃球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”③一筐內(nèi)裝有6個(gè)蘋果和3個(gè)梨，“從中任意取出1個(gè)，取出的是蘋果”與“把蘋果再放回筐子，再?gòu)目鹱又腥我馊〕?個(gè)，取出的是梨”.其中為相互獨(dú)立事件的是 .解析：①記“從甲組中選出1名男生”為事件A，“從乙組中選出1名女生”為事件B，則P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝＝P（A）P（B），故A與B是相互獨(dú)立事件；②記“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”為事件A，“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”為事件B，則P（A）＝P（B）＝若事件A不發(fā)生，則P（B）＝故事件A發(fā)生與否對(duì)事件B的概率有影響，所以A與B不是相互獨(dú)立事件；③這是有放回的抽取，兩事件的概率互不影響，故是相互獨(dú)立事件.答案：①③替換原書55頁(yè)2．在某段時(shí)間內(nèi)，，假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)，兩地是否下雨互不影響，則這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩地都不下雨的概率是 .解析：記“甲地下雨”為事件A，“乙地下雨”為事件B，則A，B是相互獨(dú)立事件，且P（A）＝，P（B）＝，故甲、乙兩地都不下雨的概率是＝＝（1－）（1－）＝.答案：0,42替換原書56頁(yè).，從乙袋中模出一個(gè)紅球的概率是，則從兩袋中各模出一個(gè)球，至少有一個(gè)紅球的概率是 .解析：記“從甲袋中模出一個(gè)紅球”為事件A，“從乙袋中模出一個(gè)紅球”為事件B，則“從兩袋中各模出一個(gè)球，至少有一個(gè)紅球的對(duì)立事件”是事件，故所求的概率是1－P（）＝1－＝1－（1－）（1－）＝.答案：替換原書57頁(yè)，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.（Ⅰ）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（Ⅲ）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”、B相互獨(dú)立，且, .所以取出的4個(gè)球均為黑球的概率為.（Ⅱ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”、D互斥，且,. 所以取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為 . （Ⅲ）設(shè)可能的取值為0,1,2,（Ⅰ）、（Ⅱ）得, ,.所以. 的分布列為0123P167。替換原書58頁(yè) 做一做3．設(shè)某批電子手表正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子手表進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第次首次測(cè)到正品，則等于 .解析：第3次首次測(cè)到正品，第一、二次測(cè)到的都是次品，故＝答案： .，則a的值為 .解析：依題意得，解得a＝.答案：替換原書58頁(yè) 思路點(diǎn)撥：（1）油罐被第三發(fā)子彈引爆，即是說前兩發(fā)子彈只有一發(fā)擊中油罐，且第三子彈擊中油罐.（2）用對(duì)立事件求解.替換原書58頁(yè)例1．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是.，每次命中與否互相獨(dú)立. (Ⅰ) 求油罐被第三發(fā)子彈引爆的概率； (Ⅱ) 求油罐被引爆的概率.解：（I）記“油罐被第三發(fā)子彈引爆”為事件A，則P(A)＝. 答：油罐被第三發(fā)子彈引爆的概率是.（II）“油罐被引爆”的事件為事件B，其對(duì)立事件為，則P()=C，∴P(A)=1 答：油罐被引爆的概率為.方法技巧：解決此類問題不僅要注意“擊中”，還要注意“未擊中”，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤P(A)＝，同時(shí)注意對(duì)立事件的靈活應(yīng)用.變式訓(xùn)練1－1：，現(xiàn)連續(xù)射擊次，求：（1）的概率；（2）至少有一發(fā)子彈擊中目標(biāo)的概率.解：（1）記“恰有3次擊中目標(biāo)”為事件A，則（2）記“至少有一發(fā)子彈擊中目標(biāo)”為事件B，其對(duì)立事件為，則 P（B）＝1－P()＝1－＝.替換原書59頁(yè)例3．在一次數(shù)學(xué)考試中, . 設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為. （1）其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率； （2）設(shè)這4名考生中選做第15題的學(xué)生數(shù)為個(gè),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.思路點(diǎn)撥：運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布求解.解：（Ⅰ）設(shè)事件表示“甲選做14題”,事件表示“乙選做14題”,則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“”,且事件、相互獨(dú)立∴ =（Ⅱ）隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,.∴ 所以變量的分布列為01234方法技巧：解決此類問題的關(guān)鍵是分清事件類型，準(zhǔn)確運(yùn)用相關(guān)公式求解.替換原書60頁(yè)2．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則(等于( )解析：.答案：替換原書60頁(yè)3．某學(xué)生解選擇題出錯(cuò)的概率為，該生解三道選擇題至少有一道出錯(cuò)的概率是 .A. B. C. D. 解析：記“該生解三道選擇題至少有一道出錯(cuò)”為事件A，則，故P（A）＝.答案：替換原書61頁(yè)，他射擊4次，至少擊中3次的概率是 ．解析：設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，則＝，＝，至少擊中3次的概率是＋＝.答案：替換原書61頁(yè) 探究創(chuàng)新11．某人在水池中養(yǎng)了10條金魚，其中4條為白色，6條為紅色，他每天隨機(jī)地從水池中取出3條放入水箱中進(jìn)行觀察，觀察后又把這3條放回水池中，連續(xù)5天的觀察。（1）問一天中，他取出兩種顏色魚的概率是多少？（2）設(shè)隨機(jī)變量X是取出兩種顏色魚的天數(shù)，求X的概率分布.解：（1）取出兩種顏色的魚有兩種可能，即1條白色魚，2條紅色魚；或2條白色魚，1條紅色魚。取出1條白色魚，2條紅色魚的方法數(shù)為；取出2條白色魚，1條紅色魚的方法數(shù)為；而從10條魚中取出3條魚的方法數(shù)為.故所求的概率為：； 5′（2）依題意得，則X的概率分布X012345P可以化簡(jiǎn)為X012345P167。替換原書62頁(yè) 做一做X123P2．隨機(jī)變量的分布列是 則＝ . 解析：依題意得＝1＋2＋3＝2.答案：2替換原書63頁(yè)例1．某一射手射擊所得環(huán)數(shù)分布列為45678910P.（1） 求射擊所得環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率.思路點(diǎn)撥：（1）根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求解.（2）根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解.解：（1）依題意得，＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
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