高二數(shù)學隨機變量及其分布列(編輯修改稿)
2024-12-18 16:41 本頁面
【文章內容簡介】 ＋ 0 . 4 0 . 4 ＝ 0 . 5 2 . P ( ξ ＝ 3) ＝ 1 － P ( ξ ＝ 2) ＝ 1 － 0 . 5 2 ＝ 0 . 4 8 . ∴ ξ 的分布列為 ξ 2 3 P 0 . 5 2 0 . 4 8 ∴ Eξ ＝ 2 P ( ξ ＝ 2) ＋ 3 P ( ξ ＝ 3) ＝ 2 0 . 5 2 ＋ 3 0 . 4 8 ＝ 2 . 4 8 . 探究提高 ( 1 ) 求離散型隨機變量的分布列的關鍵是正確理解隨機變量 取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類求概率的公式，求出概率． ( 2 ) 求隨機變量的期望和方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式求解． 變式訓練 2 口袋里裝有大小相同的 4 個紅球和 8 個白球，甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回地摸球，每次摸出一個，規(guī)則如下： ① 若一方摸出一個紅球，則此人繼續(xù)進行下一次摸球；若一方摸出一個白球，則換成對方進行下一次摸球； ② 每一次摸球彼此相互獨立，并約定由甲開始進行第一次摸球．在前三次的摸球中分別求： ( 1 ) 乙恰好摸到一次紅球的概率； ( 2 ) 甲至少摸到一次紅球的概率； ( 3 ) 甲摸到紅球的次數(shù) ξ 的分布列及數(shù)學期望． 解 記 “ 甲摸球一次摸出紅球 ” 為事件 A ， “ 乙摸球一次摸出紅球 ” 為事件 B ，則 P ( A ) ＝ P ( B ) ＝44 ＋ 8＝13， P ( A ) ＝ P ( B ) ＝23，且事件 A ， B 相互獨立． ( 1 ) 在前三次摸球中，乙恰好摸到一次紅球的概率為 P ′ ＝ P ( A A B ) ＋ P ( A B B ) ＝132313＋231323＝29. ( 2 ) 因為甲在前三次摸球中，沒有摸到紅球的概率為 P1＝ P ( A B ) ＋ P ( A B A ) ＝2313＋ (23)3＝1427， 所以甲至少摸到一次紅球的概率為 P2＝ 1 － P1＝ 1 －1427 ＝1327. ( 3 ) 根據題意， ξ 的可能取值為 0 , 1 , 2 , 3 ，則 P ( ξ ＝ 0) ＝ P ( A B ) ＋ P ( A B A ) ＝2313＋ (23)3＝1427， P ( ξ ＝ 1) ＝ P ( A A ) ＋ P ( A B A ) ＝1323＋ (23)213＝1027， P ( ξ ＝ 2) ＝ P ( A A A ) ＝ (13)223＝227， P ( ξ ＝ 3) ＝ P ( A A A ) ＝ (13)3＝127. 故 ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 1427 1027 227 127 數(shù)學期望 Eξ ＝ 0 1427＋ 1 1027＋ 2 227＋ 3 127＝1727. 題型三 隨機變量及分布列的綜合應用 例 3 在某學校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規(guī)定每人最多投 3 次；在 A 處每投進一球得 3 分，在 B 處每投進一球得 2 分；如果前兩次得分之和超過 3 分即停止投籃，否則投第三次．某同學在 A 處的命中率q1為 0 . 2 5 ，在 B 處的命中率為 q2.該同學選擇先 在 A處投一球，以后都在 B 處投，用 ξ 表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0 . 0 3 p1 p2 p3 p4 ( 1 ) 求 q2的值； ( 2 ) 求隨機變量 ξ 的數(shù)學期望 Eξ ； ( 3 ) 試比較該同學選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分與選擇上述方式投籃得分超過 3 分的概率的大?。? 思維啟迪 ( 1) ξ ＝ 0 對應的事件是在三次投籃中沒有一次投中． ( 2) 類似地找清 ξ 為 2,3,4,5 對應的事件． 解 (1 ) 由題設知， “ ξ ＝ 0 ” 對應的事件為 “ 在三次投籃中沒有一次投中 ” ，由對立事件和相互獨立事件性質可知 P ( ξ ＝ 0) ＝ (1 － q1)( 1 － q2)2＝ ，解得 q2＝ . (2) 根據題意 p1＝ P ( ξ ＝ 2) ＝ (1 － q1)C12(1 － q2) q2＝ 2 ＝ ， p2＝ P ( ξ ＝ 3) ＝ q1(1 － q2)2＝ (1 － )2＝ ， p3＝ P ( ξ ＝ 4) ＝ (1 － q1) q22＝ 2＝ ， p4＝ P ( ξ ＝ 5) ＝ q1q2＋ q1(1 － q2) q2 ＝ ＋ ＝ . 因此 Eξ ＝ 0 3 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋5 ＝ . ( 3 ) 用 C 表示事件 “ 該同學選擇第一次在 A 處投，以后都在 B 處投，得分超過 3 分 ” ，用 D 表示事件 “ 該同學選擇都在 B 處投，得分超過 3 分 ” ，則 P ( C ) ＝ P ( ξ ＝ 4) ＋ P ( ξ ＝ 5) ＝ P3＋ P4＝ 0 . 4 8 ＋ 0 . 2 4 ＝ 0 . 7 2 . P ( D ) ＝ q22＋ C12q2(1 － q2) q2＝ 0 . 82＋ 2 0 . 8 0 . 2 0 . 8 ＝0 . 8 9 6 . 故 P ( D ) P ( C ) ． 即該同學選擇都在 B 處投 籃得分超過 3 分的概率大于該同學選擇第一次在 A 處投以后都在 B 處投得分超過 3分的概率． 探究提高 ( 1 ) 要讀懂分布列、用好分布列的性質． ( 2 )
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