高二數(shù)學(xué)隨機變量及其分布列-wenkub.com
2024-11-08 16:41 本頁面
【正文】 B1) ＝ P ( A1) 3423＝38， P ( ξ ＝ 1) ＝716， P ( ξ ＝ 2) ＝1434 B P ( B )453 ＝121 2 5； P ( ξ ＝ 3) ＝C3353 ＝11 2 5， ∴ ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 641 2 5 481 2 5 121 2 5 11 2 5 ∴ 數(shù)學(xué)期望 Eξ ＝ 0 641 2 5＋ 1 481 2 5＋ 2 121 2 5＋ 3 11 2 5＝35. 規(guī)律方法總結(jié) 1 ． 互斥事件與對立事件 互斥事件強調(diào)兩個事件不可能同時發(fā)生，即在一次試驗中兩個互斥事件可以都不發(fā)生．兩事件是對立事件，則它們一定互斥，且在一次試驗中兩對立事件有且只有一個發(fā)生，反過來，兩事件互斥，但不一定對立．故兩事件互斥是兩事件對立的必要不充分條件，對立事件是特殊的互斥事件． 2 ．求離散型隨機變量 ξ 的期望與方差的方法 ( 1 ) 理解 ξ 的意義，寫出 ξ 可能取的全部值． ( 2 ) 求 ξ 取每個值的概率． ( 3 ) 寫出 ξ 的分布列． ( 4 ) 由期望的定義求 Eξ . ( 5 ) 由方差的定義求 Dξ . 知能提升演練 一、選擇題 1 ．下列是 4 個關(guān)于離散型隨機變量 ξ 的期望和方差的 描述： ① Eξ 與 Dξ 是一個數(shù)值，它們是 ξ 本身所固有的特征數(shù)，它們不具有隨機性； ② 若離散型隨機變量一切可能取值位于區(qū)間 [ a ， b ] 內(nèi)，則 a ≤ Eξ ≤ b ； ③ 離散型隨機變量的期望反映了隨機變量取值的平均水平，而方差反映的是隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離 散的程度； ④ 離散型隨機變量的期望值可以是任何實數(shù)，而方差的值一定是非負(fù)實數(shù)． 以上 4 個描述正確的個數(shù)是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解析 由定義及公式知 4 個命題都正確． D 2 ． ( 2 0 1 0 A ) ＝ (13)223＝227， P ( ξ ＝ 3) ＝ P ( A A ) ＋ P ( A A ) ＝2313＋ (23)3＝1427， 所以甲至少摸到一次紅球的概率為 P2＝ 1 － P1＝ 1 －1427 ＝1327. ( 3 ) 根據(jù)題意， ξ 的可能取值為 0 , 1 , 2 , 3 ，則 P ( ξ ＝ 0) ＝ P ( A A4) ＋ P ( B3 P ( B4) A4 A5＋ A3C24C29＝221， P ( D ) ＝C24C27 p2＋ ? ＋ ( xn－ Eξ )2第 3 講 隨機變量及其分布列 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 pn＋ ? 叫做隨機變量 ξ 的方差． 7 ．正態(tài)分布 ( 1) 一般地，如果對任意實數(shù) a b ，隨機變量 X 滿足 P ( a X ≤ b ) ＝ ?ba12π σ d x ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ， 則稱 X 的分布為正態(tài)分布． ( 2) 正態(tài)曲線的特點 如圖所示． ① 曲線位于 x 軸上方， 與 x 軸不相交． ② 曲線是單峰的， 它關(guān)于直線 x ＝ μ 對稱． 222)(e ???? x③ 曲線在 x ＝ μ 處達(dá)到峰值1σ 2π. ④ 曲線與 x 軸之間的面積為 1. ⑤ 當(dāng) σ 一定時，曲線隨著 μ 的變化而沿 x 軸平移． ⑥ 當(dāng) μ 一定時，曲線的形狀由 σ 確定， σ 越小，曲線越“ 高瘦 ” ，表示總體的分布越集中； σ 越大，曲線越 “ 矮胖 ” ，表示總體的分布越分散． ( 3 ) 正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 ① P ( μ － σ X ≤ μ ＋ σ) ＝ 0 . 6 8 2 6 . ② P ( μ － 2 σ X ≤ μ ＋ 2 σ) ＝ 0 . 9 5 4 4 . ③ P ( μ － 3 σ X ≤ μ ＋ 3 σ) ＝ 0 . 9 9 7 4 . 題型一 相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗 例 1 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是23和34. 假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響 . ( 1 ) 求甲射擊 4 次，至少有 1 次未擊中目標(biāo)的概率； ( 2 ) 求兩人各射擊 4 次，甲恰好擊中目標(biāo) 2 次且乙 恰好擊中目標(biāo) 3 次的概率； ( 3 ) 假設(shè)某人連續(xù) 2 次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊．則乙恰好射擊 5 次后被中止射擊的概率是多少？ 思維啟迪 ( 1) 第 ( 1) 問先求其對立事件的概率． ( 2) 第 ( 2) 問利用相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式． ( 3) 第 ( 3) 問中，甲恰好射擊 5 次被中止，可分為前 3 次擊中后兩次未擊中和前 2 次有一次未擊中，第 3 次擊中，后兩次未擊中兩種情況． 解 ( 1) 甲至少一次未擊中目標(biāo)的概率 P 1 是 P 1 ＝ P 4 ( 1) ＋ P 4 ( 2) ＋ P 4 ( 3) ＋ P 4 ( 4) ＝ 1 － P 4 ( 0) ＝ 1 －??????234??????130＝6581. ( 2 ) 甲射擊 4 次恰擊中 2 次的概率為 P2＝ C24????????232????????132＝827， 乙射擊 4 次恰擊中 3 次的概率為 P3＝ C34????????34314＝2764，
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