高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布列(已修改)
2024-11-28 16:41 本頁面
【正文】 第 3 講 隨機(jī)變量及其分布列 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 福建 ) 設(shè) S 是不等式 x2－ x － 6 ≤ 0 的解集，整數(shù) m ， n ∈ S . ( 1 ) 記 “ 使得 m ＋ n ＝ 0 成立的有序數(shù)組 ( m ， n ) ” 為事件A ，試列舉 A 包含的基本事件； ( 2 ) 設(shè) ξ ＝ m2，求 ξ 的分布列及其數(shù)學(xué)期望 Eξ . 解 ( 1 ) 由 x2－ x － 6 ≤ 0 ，得－ 2 ≤ x ≤ 3 ， 即 S ＝ { x |－ 2 ≤ x ≤ 3} ． 由于 m ， n ∈ Z ， m ， n ∈ S 且 m ＋ n ＝ 0 ，所以 A 包含的基本事件為 ( － 2 , 2 ) ， (2 ，－ 2) ， ( － 1 , 1 ) ， (1 ，－ 1) ， ( 0 , 0 ) ． ( 2 ) 由于 m 的所有不同取值為－ 2 ，－ 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ， 所以 ξ ＝ m2的所有不同取值為 0 , 1 , 4 , 9 ， 且有 P ( ξ ＝ 0) ＝16， P ( ξ ＝ 1) ＝26＝13， P ( ξ ＝ 4) ＝26＝13， P ( ξ ＝ 9) ＝16. 故 ξ 的分布列為 ξ 0 1 4 9 P 16 13 13 16 所以 Eξ ＝ 0 16＋ 1 13＋ 4 13＋ 9 16＝196. 考題分析 本題考查了基本事件的概念，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算．考查考生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力． 易錯(cuò)提醒 ( 1 ) 易忽略特例 ( 0 , 0 ) 這一基本事件． ( 2 ) 搞不清 ξ 的所有可能值與 m 的所有可能值的關(guān)系．基本事件確定有誤． ( 3 ) 書寫不規(guī)范，計(jì)算錯(cuò)誤． 主干知識(shí)梳理 1 ．條件概率 在 A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的概率： P ( B | A ) ＝P ( AB )P ( A ). 2 ．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) ． 3 ．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 p ，那么它在n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 恰好發(fā)生 k 次的概率為 Pn( k ) ＝ Cknpk(1 － p )n － k， k ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n . 4 ．離散型隨機(jī)變量的分布列 ( 1 ) 設(shè)離散型隨機(jī)變量 ξ 可能取的值為 x1， x2， ? ， xi， ? ， ξ 取每一個(gè)值 xi的概率為 P ( ξ ＝ xi) ＝ pi，則稱下表： ξ x1 x2 x3 ? xi ? P p1 p2 p3 ? pi ? 為離散型隨機(jī)變量 ξ 的分布列． ( 2 ) 離散型隨機(jī)變量 ξ 的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：① pi≥ 0 ， ② p1＋ p2＋ ? ＋ pi＋ ? ＝ 1( i ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) ． 5 ．常見的離散型隨機(jī)變量的分布 ( 1 ) 兩點(diǎn)分布 分布列為 ( 其中 0 p 1 ) ξ 0 1 P 1 － p p ( 2 ) 二項(xiàng)分布 在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) ξ 是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取的值為 0 , 1 , 2 , 3 ， ? ， n ，并且 P ( ξ ＝ k ) ＝ Cknpkqn － k( 其中 k ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n ， q ＝ 1 － p ) ． 顯然 P ( ξ ＝ k ) ≥ 0( k ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n ) ， ∑nk ＝ 0Cknpkqn － k＝ 1. 稱這樣的隨機(jī)變量 ξ 服從參數(shù) n 和 p 的二項(xiàng)分布，記為 ξ ～ B ( n ， p ) ． 6 ．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 若離散型隨機(jī)變量 ξ 的分布列為 ξ x1 x2 ? xn ? P p1 p2 ? pn ? 則稱 Eξ ＝ x1p1＋ x2p2＋ ? ＋ xnpn＋ ? 為 ξ 的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望． Dξ ＝ ( x1－ Eξ )2 p1＋ ( x2－ Eξ )2 p2＋ ? ＋ ( xn－ Eξ )2 pn＋ ? 叫做隨機(jī)變量 ξ 的方差． 7 ．正態(tài)分布 ( 1) 一般地，如果對(duì)任意實(shí)數(shù) a b ，隨機(jī)變量 X 滿足 P ( a X ≤ b ) ＝ ?ba12π σ d x ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ， 則稱 X 的分布為正態(tài)分布． ( 2) 正態(tài)曲線的特點(diǎn) 如圖所示． ① 曲線位于 x 軸上方， 與 x 軸不相交． ② 曲線是單峰的， 它關(guān)于直線 x ＝ μ 對(duì)稱． 222)(e ???? x③ 曲線在 x ＝ μ 處達(dá)到峰值1σ 2π. ④ 曲線與 x 軸之間的面積為 1. ⑤ 當(dāng) σ 一定時(shí)，曲線隨著 μ 的變化而沿 x 軸平移． ⑥ 當(dāng) μ 一定時(shí)，曲線的形狀由 σ 確定， σ 越小，曲線越“ 高瘦 ” ，表示總體的分布越集中； σ 越大，曲線越 “ 矮胖 ” ，表示總體的分布越分散． ( 3 ) 正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 ① P ( μ － σ X ≤ μ ＋ σ) ＝ 0 . 6 8 2 6 . ② P ( μ － 2 σ X ≤ μ ＋ 2 σ) ＝ 0 . 9 5 4 4 . ③ P ( μ － 3 σ X ≤ μ ＋ 3 σ) ＝ 0 . 9 9 7 4 . 題型一 相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 例 1 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是23和34. 假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響 . ( 1 ) 求甲射擊 4 次，至少有 1 次未擊中目標(biāo)的概率； ( 2
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