高二數學隨機變量及其分布列-文庫吧資料
2024-11-20 16:41本頁面
【正文】 ∴ ξ 的分布列為 ξ 2 3 P 0 . 5 2 0 . 4 8 ∴ Eξ ＝ 2 P ( ξ ＝ 2) ＋ 3 P ( ξ ＝ 3) ＝ 2 0 . 5 2 ＋ 3 0 . 4 8 ＝ 2 . 4 8 . 探究提高 ( 1 ) 求離散型隨機變量的分布列的關鍵是正確理解隨機變量 取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類求概率的公式，求出概率． ( 2 ) 求隨機變量的期望和方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式求解． 變式訓練 2 口袋里裝有大小相同的 4 個紅球和 8 個白球，甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回地摸球，每次摸出一個，規(guī)則如下： ① 若一方摸出一個紅球，則此人繼續(xù)進行下一次摸球；若一方摸出一個白球，則換成對方進行下一次摸球； ② 每一次摸球彼此相互獨立，并約定由甲開始進行第一次摸球．在前三次的摸球中分別求： ( 1 ) 乙恰好摸到一次紅球的概率； ( 2 ) 甲至少摸到一次紅球的概率； ( 3 ) 甲摸到紅球的次數 ξ 的分布列及數學期望． 解 記 “ 甲摸球一次摸出紅球 ” 為事件 A ， “ 乙摸球一次摸出紅球 ” 為事件 B ，則 P ( A ) ＝ P ( B ) ＝44 ＋ 8＝13， P ( A ) ＝ P ( B ) ＝23，且事件 A ， B 相互獨立． ( 1 ) 在前三次摸球中，乙恰好摸到一次紅球的概率為 P ′ ＝ P ( A A B ) ＋ P ( A B B ) ＝132313＋231323＝29. ( 2 ) 因為甲在前三次摸球中，沒有摸到紅球的概率為 P1＝ P ( A B4) ＝ P ( A3 P ( A5) ＝ 0 . 6 0 . 6 ＋ 0 . 4 0 . 6 0 . 6 ＋ 0 . 6 0 . 4 0 . 6 ＝ 0 . 6 4 8 . ( 2 ) ξ 的可能取值為 2 , 3 . 由于各局比賽結果相互獨立，所以 P ( ξ ＝ 2) ＝ P ( A3 A5) ＝ P ( A3) P ( A4) ＋ P ( B3) P ( A4) P ( A5) ＋ P ( A3) A5) ＋ P ( A3 A4) ＋ P ( B3 B4 A4C15C14C29＝1063. 故取出的 4 個球中恰有 1 個紅球的概率為 P ( C ＋ D ) ＝ P ( C ) ＋ P ( D ) ＝221＋1063＝1663. 題型二 隨機變量的分布列、期望和方差 例 2 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束．假設在一局中，甲獲勝的概率為 0 . 6 ，乙獲勝的概率為 0 . 4 ，各局比賽結果相互獨立，已知前 2 局中，甲、乙各勝 1 局． ( 1 ) 求甲獲得這次比賽勝利的概率； ( 2 ) 設 ξ 表示從第 3 局開始到比賽結束所進行的局數，求 ξ 的分布列及數學期望． 思維啟迪 甲獲勝的三種情形 → 求甲獲勝的概率 →ξ 的所有可能值及其概率 → ξ 的分布列 → ξ 的數學期望． 解 記 Ai表示事件：第 i 局甲獲勝， i ＝ 3 , 4 , 5 ， 記 Bj表示事件：第 j 局乙獲勝： j ＝ 3 , 4 . ( 1 ) 記 B 表示事件：甲獲得這次比賽的勝利． 因前兩局中，甲、乙各勝 1 局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝 2 局，從而 B ＝ A3 P ( B ) ＝17518＝51 2 6. ( 2 ) 設 “ 從甲盒內取出的 2 個球中， 1 個是紅球， 1 個是黑球；從乙盒內取出的 2 個球均為黑球 ” 為事件 C ， “ 從甲盒內取出的 2 個球均為黑球；從乙盒內取出的 2 個球中， 1 個是紅球， 1 個是黑球 ” 為事件 D . 由于事件 C 、D 互斥，且 P ( C ) ＝C13C14C27 pn＋ ? 叫做隨機變量 ξ 的方差． 7 ．正態(tài)分布 ( 1) 一般地，如果對任意實數 a b ，隨機變量 X 滿足 P ( a X ≤ b ) ＝ ?ba12π σ d x ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ， 則稱 X 的分布為正態(tài)分布． ( 2) 正態(tài)曲線的特點 如圖所示． ① 曲線位于 x 軸上方， 與 x 軸不相交． ② 曲線是單峰的， 它關于直線 x ＝ μ 對稱． 222)(e ???? x③ 曲線在 x ＝ μ 處達到峰值1σ 2π. ④ 曲線與 x 軸之間的面積為 1. ⑤ 當 σ 一定時，曲線隨著 μ 的變化而沿 x 軸平移． ⑥ 當 μ 一定時，曲線的形狀由 σ 確定， σ 越小，曲線越“ 高瘦 ” ，表示總體的分布越集中； σ 越大，曲線越 “ 矮胖 ” ，表示總體的分布越分散． ( 3 ) 正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率 ① P ( μ － σ X ≤ μ ＋ σ) ＝ 0 . 6 8 2 6 . ② P ( μ － 2 σ X ≤ μ ＋ 2 σ) ＝ 0 . 9 5 4 4 . ③ P ( μ － 3 σ X ≤ μ ＋ 3 σ) ＝ 0 . 9 9 7 4 . 題型一 相互獨立事件和獨立重復試驗 例 1 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是23和34. 假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響 . ( 1 ) 求甲射擊 4 次，至少有 1 次未擊中目標的概率； ( 2 ) 求兩人各射擊 4 次，甲恰好擊中目標 2 次且乙 恰好擊中目標 3 次的概率； ( 3 ) 假設某人連續(xù) 2 次未擊中目標，則中止其射擊．則乙恰好射擊 5 次后被中止射擊的概率是多少？ 思維啟迪 ( 1) 第 ( 1) 問先求其對立事件的概率． ( 2) 第 ( 2) 問利用相互獨立事件和
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