【正文】 z z yZDF z x y d x d y d y x y d x z z?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?2Dzyx ??o xyzz11zz(2) 法 1 先求 Z的分布函數(shù)，如圖 ( ) ( ) ( , )Zx y zF z P X Y z f x y d x d y??? ? ? ? ??當 時， 0z ? ( ) 0。54P X X? ? ? ? ?1232{ 1 , 0 } 0 . 3 。DP X Y D f x y d x d y?? ??).,(),(2yxfyx yxF ???? 設(shè) (X,Y)的密度函數(shù)為 f(x,y)，則 X和 Y的分布函數(shù) 可表示為 ( ) ( ( , ) ) .xXF x f x y d y d x??? ? ? ?? ??( ) ( ( , ) ) .yYF y f x y d x d y??? ? ? ?? ??分別稱為 (X,Y)的關(guān)于 X和 Y的 邊緣分布函數(shù) ，而 ( ) ( , )Xf x f x y d y????? ?( ) ( , ) .Yf y f x y d x????? ?分別稱為 (X,Y)的關(guān)于 X和 Y的 邊緣密度函數(shù) . 對于給定的 x，若 fX(x)0,則稱 ??????? yxf yxfxyfXXY ,)(),()(為 Y關(guān)于 X=x的 條件密度函數(shù) . 為 X關(guān)于 Y=y的 條件密度函數(shù) . 類似地，若 fY(y)0,則稱 ( , )( ) ,()XY Yf x yf x y xfy? ? ? ? ? ? ? 條件密度函數(shù) 同樣滿足密度函 數(shù)的所有性質(zhì) . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )XY Y X X Yf x y f x f y x f y f x y??注 ： （四）隨機變量的獨立性 設(shè) n維隨機變量 的聯(lián)合分布函數(shù)為 ),( 21 nXXX ?12( , , , ) ,nF x x x( ) , 1 , 2 , , .XiF x i n?關(guān)于 Xi 的邊緣分布函數(shù)為 若對任意實數(shù) 有 12, , , ,nx x x121 2 1 2( , , , ) ( ) ( ) ( ) ,nn X X X nF x x x F x F x F x?則稱隨機變量 相互獨立 . 12, , , nX X X 設(shè) 為 n維離散型隨機變量，若對 一切可能的值 有 ),( 21 nXXX ?12, , , ,nx x x1 1 2 2 1 1 2 2( , , , ) ( ) ( ) ( )n n n nP X x X x X x P X x P X x P X x? ? ? ? ? ? ?則稱隨機變量 相互獨立 . 12, , , nX X X特殊：二維情形 X,Y 相互獨立 ?,2,1, ?? ?? jippp jiij 設(shè) 為 n維離散型隨機變量，若對任意實數(shù) 有 ),( 21 nXXX ?12, , , ,nx x x121 2 1 2( , , , ) ( ) ( ) ( ) ,nn X X X nf x x x f x f x f x?其中 是聯(lián)合密度， 12( , , , )nf x x x()iXifx 為 Xi 的 邊緣密度 ， 1 , 2 , , ,in?則稱隨機變量 相互獨立 . 12, , , nX X XX,Y 相互獨立 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?特殊：二維情形 （五）隨機變量函數(shù)的分布 (重點 ) 隨機變量 Z為隨機變量 X,Y的函數(shù)，即 Z=g(X,Y), 則 Z的分布函數(shù)為 ?????????? zzYXgPzZPzF Z ),),(()()( 已知 ),(,),( YXgzpyYxXP ijji ????則 Z的分布為 ( , )( ) ( ( , ) ) ( , )i j kk k i jg x y zP Z z P g X Y z P X x Y y?? ? ? ? ? ?? 已知 (X,Y)的密度函數(shù)為 f (x,y)， Z=g(X,Y),則 Z的 分布函數(shù) 為 ( , )( ) ( ) ( ( , ) ) ( , ) .Zg X Y zF z P Z z P g X Y z f x y d x d y?? ? ? ? ? ??若 Z任為連續(xù)型隨機變量，則 Z的 密度函數(shù) 為 )()( zFzf ZZ ??4. X與 Y的和、商與極值的分布 （ 1）和的分布 設(shè) (X,Y)的密度函數(shù)為 f(x,y),則 Z=X+Y的密度函數(shù)為 ( ) ( , ) ( , )Zf z f x z x d x f z y y d y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???當 X,Y獨立時，有 卷積公式 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z X Y X Yf z f x f z x d x f z y f y d y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???(2) 商的分布 設(shè) (X,Y)的密度函數(shù)為 f(x,y),則 的密度函數(shù)為 YXZ ?( ) ( , )Zf z Y f y z y d y????? ?當 X,Y獨立時，有 ( ) ( ) ( )Z X Yf z Y f y z f y d y????? ?（ 3）極值分布 當 X,Y相互 獨立時 ,其分布函數(shù)分別為 FX (x),FY(y), 則 ),m a x (1 YXZ ?2 m i n ( , )Z X Y?的分布函數(shù)為 1 1( ) ( ) ( m a x ( , ) ) ( , ) ( ) ( ) .ZXYF z P Z z P X Y zP X z Y z F z F z? ? ? ?? ? ? ?2 2( ) ( ) ( m i n ( , ) ) 1 ( m in ( , ) ) 1 ( , ) 1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] .ZXYF z P Z z P X Y zP X Y z P X z Y zF z F z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?可推廣為 n個相互獨立的隨機變量 ： 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) .NZ X X XF z F z F z F z?2 1 2( ) 1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] .nZ X X XF z F z F z F z? ? ? ? ?若 X與 Y獨立同分布？ （六）兩個常見的二維分布 設(shè) (X,Y)的密度函數(shù)為 ????? ??其它,0),(,)(1),(DyxDSyxf則 (X,Y)~U（ D） . 性質(zhì)： 設(shè) (X,Y)服從矩形域 },),{( dycbxayxD ?????上的均勻分布，則兩個邊緣分布都是均勻分布，即 X~U[a,b] ,Y~U[